Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
P = ?12400 mm500 mmØ30Ø60δ = 0,5 mm

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,5 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 40 mmАлюміній2 mØ 20 mmЛатунь2 mP = 65 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 65 kNділянка 1: Ø40 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Кручення валівСередня
do​ = ?T = 250 N·m

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 250 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр do.

T = 250 N·mdi/do = 0,7τallow = 60 MPa
do = mm
4.Кручення валівСкладна
d = 40 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 250 N·mABC3 m1 m

Суцільний вал (алюміній) діаметром 40 mm закріплений в A. У B, на відстані 3 m від A, діє обертовий момент 100 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1 m далі, діє момент 250 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φC кінця C у градусах.

d = 40 mmTB = 100 N·mTC = 250 N·mAB = 3 mBC = 1 mG = 26 GPa
φC = °
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
30 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 1 m55 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 3 kN/mP = 40 kNABпереріз2 m7,5 m0,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 9,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 40 kN у 2 mw = 3 kN/m від 0 до 10 mx = 9,5 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
200 mm300 mm90 mmØ60xIx​ = ?

Пластина 200 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
100 mm150 mm105 mm40 × 30xIx​ = ?

Пластина 100 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmвиріз: 40 × 30 mmцентр отвору: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = −40σy​ = 10τxy​ = 30MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τmax.

σx = −40 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 70σy​ = 100τxy​ = 60MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 40° проти годинникової стрілки від осі x.

σx = 70 MPaσy = 100 MPaτxy = 60 MPaθ = 40°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 20 kN/mδL = 1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 4 kN/mABδ6 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/250. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 2,5 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 4 md = 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 112,7 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1,608 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,5/4,437 × 10⁻⁶ = 112688 N = 112,7 kN

Відповідь

P = 112,7 kN
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 5,616 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 51,73 MPa
σ2 = 206,9 MPa

Додайте видовження ділянок

δ1 = σ1L1/E1 = 51,73·2000/70000 = 1,478 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 206,9·2000/100000 = 4,138 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,616 mm

Відповідь

δ = 5,616 mm
3.Кручення валів

Відповідь: do = 30,34 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0,7599)) = 30,34 mm
di = 0,7·30,34 = 21,24 mm

Відповідь

do = 30,34 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 27,69 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: φC = 6,138 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Внутрішні крутні моменти

Напрямок TC прийнято за додатний.

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 100 = 150 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 150000·3000/(26000·251327) = 0,06887 rad
φBC = 250000·1000/(26000·251327) = 0,03826 rad

Кут закручування кінця C

φC = 0,06887 + 0,03826 = 0,1071 rad → |φC| = 6,138°

Відповідь

φC = 6,138°
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 43,33 kN, R2 = 41,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 43,33, MC = 56,67, MD = 70, ME = 83,33 kN·m, MF = 41,67, MG = 0

Відповідь

Позначка E: ME = 83,33 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 11,13 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·2 + 3·10·5
RB = 230/10 = 23 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 23 = 47 kN
w = 3 kN/mP = 40 kNABRA​ = 47RB​ = 23переріз2 m7,5 m0,5 m

Розріжте в x = 9,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 47·9,5 − 40·(9,5 − 2) − 3·9,5·4,75 = 11,13 kN·m

Відповідь

Mx = 11,13 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 438,7 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (60000·150 − 2827·90)/(60000 − 2827) = 153 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·300³/12 + 60000·−2,967² = 450,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−62,97² = 11,85 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 438,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 438,7 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 26,86 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 1200·105)/(15000 − 1200) = 72,39 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·2,609² = 28,23 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·30³/12 + 1200·32,61² = 1,366 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 26,86 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 26,86 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τmax = 39,05 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCτmax​

Радіус кола Мора

τmax = R = √(((−40 − 10)/2)² + 30²) = 39,05 MPa

Відповідь

τmax = 39,05 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 141,5 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 85 + −15·0,1736 + 60·0,9848 = 141,5 MPa

Відповідь

σθ = 141,5 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 2,216 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 2,216 mm

Відповідь

δmax = 2,216 mm
12.Прогин балки

Відповідь: hreq = 290,6 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·24) = 2,557 × 10⁸ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,557 × 10⁸/125)1/3 = 290,6 mm

Відповідь

hreq = 290,6 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 33,91 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33,91 kN

Відповідь

Pcr = 33,91 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 111 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133,3

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Відповідь

σcr = 111 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials