Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 60 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (латунь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 75 mm і довжину 2,5 m; ділянка BC має діаметр 20 mm і довжину 1,5 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 100 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 5 kW при 3000 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 5 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 8 kN/m від 0 до 5 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 6 m55 kN @ 2 m15 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 300 mmвиріз: 30 × 40 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 80 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає осьову розтягувальну силу 200 kN разом з обертовим моментом 500 N·m. На поверхні вала знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 40 mmF = 200 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 3 mP = 45 kN у 1,5 m

R_B = kN

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,567 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/490,9 = 122,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 122,2/117000 = 0,001045 = 1045 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001045·1500 mm = 1,567 mm

Відповідь

δ = 1,567 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 559,8 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5027 = 6,158 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,0009091) = 0,0009091 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0009091·6,158 × 10⁸ = 559775 N = 559,8 kN

Відповідь

P_max = 559,8 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 14,15 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·2500/(39000·3,106 × 10⁶) = 0,002064 rad

φ_BC = 100000·1500/(39000·15708) = 0,2449 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,002064 + 0,2449 = 0,2469 rad = 14,15°

Відповідь

φ_C = 14,15°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 10,49 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 15,92 N·m = 15915 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·15915/(π·75·0,9375)) = 10,49 mm

d_i = 0,5·10,49 = 5,243 mm

Відповідь

d_o = 10,49 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 10,26 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 8 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 20 − 8·1,5 = 8 kN

Відповідь

V_x = 8 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 45 kN, R₂ = 95 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 37,5, M_C = 60 kN·m, M_D = 12,5, M_E = −50, M_F = −25, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 60 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 7,129 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

стінка: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·147,5 + 1120·70)/5020 = 130,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·15³/12 + 3900·(147,5 − 130,2)² = 1,239 × 10⁶ mm⁴

стінка: 8·140³/12 + 1120·(70 − 130,2)² = 5,889 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,239 × 10⁶ + 5,889 × 10⁶ = 7,129 × 10⁶ mm⁴ = 7,129 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 7,129 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 267,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·150 − 1200·105)/(36000 − 1200) = 151,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,552² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·40³/12 + 1200·−46,55² = 2,76 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 267,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 267,3 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = −67,5 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = −50/70,71 = −0,7071, sin 2θ_s = −50/70,71 = −0,7071

2θ_s = atan2(−50, −50) = −135°

Кут на елементі

θ_s = −67,5°

перевірка: θ_s − θ_p = −67,5 − (−22,5) = −45°

Відповідь

θ_s = −67,5°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 88,97 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = 200000/(π·40²/4) = 200000/1257 = 159,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 79,58 MPa

R = √(79,58² + 39,79²) = 88,97 MPa

Відповідь

τ_max = 88,97 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 7,533 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 7,533 mm

Відповідь

δ_max = 7,533 mm

12.Прогин балки

Відповідь: R_B = 14,06 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Відповідь

R_B = 14,06 kN

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 195,3 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195,3 kN

Відповідь

P_cr = 195,3 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 7,896 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/5 = 500

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Відповідь

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials