Осьове напруження й деформація
- Нормальне напруження
- σ = F/A
- Деформація
- ε = ΔL/L
- Закон Гука
- σ = E·ε
- Видовження
- ΔL = FL/(EA)
- Температурна деформація
- εT = α·ΔT
Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Кручення валів
- Дотичне напруження
- τ = T·r/J
- Суцільний вал
- J = πd⁴/32
- Порожнистий вал
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Кут закручування
- φ = TL/(GJ)
- Потужність
- P = T·ω = 2πnT/60
Метод
- Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
- Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
- Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
- Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.
Поперечна сила і згинальний момент
- Поперечна сила і момент
- V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
- Напруження згину
- σ = M·y/I
- Прямокутник
- I = bh³/12
- Момент опору перерізу
- W = I/ymax
- Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
- Mmax = wL²/8
Метод
- Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
- Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
- Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
- Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
- Центр ваги
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Прямокутник
- I = bh³/12
- Теорема про паралельне перенесення осей
- I = Ic + A·d²
- Складений переріз
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Коло Мора й перетворення напружень
- Центр
- C = (σx + σy)/2
- Радіус
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Головні напруження
- σ1,2 = C ± R
- Головний напрямок
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Похила площадка
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Метод
- Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
- Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
- Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Прогин балки
- Зосереджена сила посередині прольоту
- δ = PL³/(48EI)
- Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Консоль, сила на кінці
- δ = PL³/(3EI)
- Консоль, рівномірне навантаження
- δ = wL⁴/(8EI)
- Метод накладання
- δ = δ1 + δ2
Стійкість колон
- Критична сила Ейлера
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Коефіцієнт розрахункової довжини
- K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
- Критичне напруження
- σcr = Pcr/A
- Гнучкість
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Задачі для практики
1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.
P = 15 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 50 мм, довжина 500 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ2 в ділянці 2.
ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.Кручення валівСередня
Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.
T = 400 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Порожнистий вал має передавати 50 kW при 300 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр do.
P = 50 kWN = 300 rpmdi/do = 0,7τallow = 80 MPa
do = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 30 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 8 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 10 mM0 = 30 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 8 m
Mx = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 5 mP = 15 kN у 2,5 mw = 2 kN/m від 0 до 5 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.
bf = 120 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 190 mm і товщиною 20 mm, повну висоту 240 mm і стінку товщиною 6 mm. Він сприймає згинальний момент 20 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σj у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.
B = 190 mmH = 240 mmtf = 20 mmtw = 6 mmM = 20 kN·m
σj = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
У точці σₓ = −10 MPa і σᵧ = −20 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τxy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 35 MPa?
σx = −10 MPaσy = −20 MPaσ1 = 35 MPa
τxy = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
Суцільний вал діаметром 50 mm сприймає згинальний момент 750 N·m разом з обертовим моментом 750 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ1.
d = 50 mmM = 750 N·mT = 750 N·m
σ1 = MPa
11.Прогин балкиСередня
Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.
w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Прогин балкиСкладна
Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.
w = 4 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.
L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.
L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm
σcr = MPa
3Розчини
1.Осьове напруження й деформація
Відповідь: δ = 3,197 mm
Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).
Напруження
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa
Деформація (закон Гука)
E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 74,6/70000 = 0,001066 = 1066 µε
Видовження
δ = ε·L = 0,001066·3000 mm = 3,197 mm
Відповідь
δ = 3,197 mm
2.Осьове напруження й деформація
Відповідь: σ2 = 22,68 MPa
Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.
Жорсткості
k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm
k₂ = 120000·1963/500 = 471239 N/mm
Частка ділянки 2
F2 = 60000·471239/634864 = 44536 N
Напруження
σ2 = 44536/1963 = 22,68 MPa (стиск)
Відповідь
σ2 = 22,68 MPa
3.Кручення валів
Відповідь: φ = 1,437 °
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Полярний момент інерції
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Кут закручування
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(26000·613592) = 0,02507 rad
φ = 0,02507·180/π = 1,437°
Відповідь
φ = 1,437°
4.Кручення валів
Відповідь: do = 51,09 mm
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Крутний момент
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m
Зовнішній діаметр за допустимим напруженням
T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·80·0,7599)) = 51,09 mm
di = 0,7·51,09 = 35,76 mm
Відповідь
do = 51,09 mm
Суцільному валу потрібен був би d = 46,62 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.
5.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 6 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.
Опорні реакції
Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 30/10 = 3 kN (вгору)
RA = −RB = −3 kN (вниз)
Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту
Тепер ліва частина містить RA і зосереджений момент.
Mx = RA·a + M0 = −3·8 + 30 = 6 kN·m
Відповідь
Mx = 6 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 25 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·2,5 + 2·5·2,5
RB = 62,5/5 = 12,5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 12,5 = 12,5 kN
Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 12,5·2,5 − 2·2,5·1,25 = 25 kN·m
Відповідь
Mx = 25 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 14,24 × 10⁶ mm⁴
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Поділіть на два прямокутники
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
полиця: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm
стінка: Aw = 14·160 = 2240 mm², yw = 160/2 = 80 mm
Центр ваги
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·170 + 2240·80)/4640 = 126,6 mm
Теорема про паралельне перенесення осей
полиця: 120·20³/12 + 2400·(170 − 126,6)² = 4,611 × 10⁶ mm⁴
стінка: 14·160³/12 + 2240·(80 − 126,6)² = 9,633 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4,611 × 10⁶ + 9,633 × 10⁶ = 1,424 × 10⁷ mm⁴ = 14,24 × 10⁶ mm⁴
Відповідь
Ix = 14,24 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: σj = 20,79 MPa
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи
Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.
hw = 240 − 2·20 = 200 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·240³ − 184·200³)/12
Ix = 9,621 × 10⁷ mm⁴
Напруження згину
y = 120 − 20 = 100 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·100/9,621 × 10⁷ = 20,79 MPa
Відповідь
σj = 20,79 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: τxy = 49,75 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Потрібний радіус
C = (−10 + (−20))/2 = −15 MPa
R = σ1 − C = 35 − (−15) = 50 MPa
Дотичне напруження
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 5²) = 49,75 MPa
Відповідь
τxy = 49,75 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: σ1 = 73,77 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Напруження на поверхні
σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·50³) = 61,12 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa
Коло Мора
C = σ/2 = 30,56 MPa
R = √(30,56² + 30,56²) = 43,22 MPa
σ1 = C + R = 73,77 MPa
σ2 = C − R = −12,66 MPa
Відповідь
σ1 = 73,77 MPa
11.Прогин балки
Відповідь: δ = 60,61 mm
Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).
Узгоджені одиниці
Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.
w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²
Прогин
δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 60,61 mm
Відповідь
δ = 60,61 mm
12.Прогин балки
Відповідь: hreq = 246,1 mm
Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).
Узгоджені одиниці
Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.
w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²
Обмеження прогину
δallow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm
Потрібний момент інерції
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,553 × 10⁸ mm⁴
Потрібна висота
bh³/12 = Ireq → h = (12·1,553 × 10⁸/125)1/3 = 246,1 mm
Відповідь
hreq = 246,1 mm
На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.
13.Стійкість колон
Відповідь: Pcr = 4,449 kN
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Найменший момент інерції
Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Розрахункова довжина
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
Критична сила
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4200² = 4449 N = 4,449 kN
Відповідь
Pcr = 4,449 kN
14.Стійкість колон
Відповідь: σcr = 69,09 MPa
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Найменший момент інерції
Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Радіус інерції і гнучкість
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100
Критичне напруження
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa
Відповідь
σcr = 69,09 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials