Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
150 kNØ25110 GPaØ100/60500 mmδ = ?

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 150 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 150 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
P = ?Ø3070 GPaØ100/70800 mm

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 150 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 60 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження Pmax.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Кручення валівСередня
T = 400 N·md = 50 mmL = 1 mφ = ?

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 30 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
M0​ = 40 kN·mAB2 m4 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 40 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 2 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mM0 = 40 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 2 m
Mx = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 2 kN/mABC4 m1 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть згинальний момент MB на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 2 kN/m від 0 до 5 mопори в x = 0 і x = 4 m
MB = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
200 mm150 mm90 mmØ60xIx​ = ?

Пластина 200 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
150 mm200 mm130 mm50 × 30xIx​ = ?

Пластина 150 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 130 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 200 mmвиріз: 50 × 30 mmцентр отвору: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = −50σy​ = 10τxy​ = −10MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = −50 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = −50 MPaσy = 10 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 80σy​ = 40τxy​ = −50MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 80 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° проти годинникової стрілки від осі x.

σx = 80 MPaσy = 40 MPaτxy = −50 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 10 kN/mδL = 4 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 15 kN/mP = 23 kNδL = 2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 23 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 2 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 2 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1152 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5027 = 6,511 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 150000·500/6,511 × 10⁸ = 0,1152 mm

Відповідь

δ = 0,1152 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: Pmax = 316,3 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·4006 = 4,218 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00075, 0,0008571) = 0,00075 (сталь)

Найбільше навантаження

Pmax = 0,00075·4,218 × 10⁸ = 316319 N = 316,3 kN

Відповідь

Pmax = 316,3 kN
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,9577 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(39000·613592) = 0,01672 rad
φ = 0,01672·180/π = 0,9577°

Відповідь

φ = 0,9577°
4.Кручення валів

Відповідь: d = 33,16 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·572958/(π·80)) = 33,16 mm

Відповідь

d = 33,16 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 26,67 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/6 = 6,667 kN (вгору)
RA = −RB = −6,667 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить RA і зосереджений момент.

Mx = RA·a + M0 = −6,667·2 + 40 = 26,67 kN·m

Відповідь

Mx = 26,67 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: MB = −1 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·5·2,5
RB = 25/4 = 6,25 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 6,25 = 3,75 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

Навантаження на консолі, w·a, прикладене на відстані a/2 від B і вигинає балку над опорою опуклістю догори.

MB = −w·a²/2 = −2·1²/2 = −1 kN·m

Відповідь

MB = −1 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 54,91 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 2827·90)/(30000 − 2827) = 73,44 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·1,561² = 56,32 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·16,56² = 1,412 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 54,91 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 54,91 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 98,47 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·100 − 1500·130)/(30000 − 1500) = 98,42 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·200³/12 + 30000·1,579² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·30³/12 + 1500·31,58² = 1,608 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 98,47 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 98,47 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = −80,78 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−10, −50 − 10) = −161,6°

Кут на елементі

θp = −80,78°

Відповідь

θp = −80,78°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 10 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 60 + 20·0 + −50·1 = 10 MPa

Відповідь

σθ = 10 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 1,984 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 1,984 mm

Відповідь

δmax = 1,984 mm
12.Прогин балки

Відповідь: δmax = 5,999 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 23000·2500³/(48·2,52 × 10¹²) = 2,971 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 3,028 mm

Додайте

δmax = 2,971 + 3,028 = 5,999 mm

Відповідь

δmax = 5,999 mm
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 4,905 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4,905 kN

Відповідь

Pcr = 4,905 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 55,08 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/12,5 = 112

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa

Відповідь

σcr = 55,08 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials