Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 30 mmСталь3 mP = 10 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
P = ?Ø3070 GPaØ120/70500 mm

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження Pmax.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.Кручення валівСередня
d = 15 mmT = 20 N·m250 mmφ = 1,48°

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 15 mm закручують моментом 20 N·m. Два кінці розрахункової довжини 250 mm повертаються один відносно одного на 1,48° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 20 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 1,48°
G = GPa
4.Кручення валівСкладна
d = ?50 kW, 1450 rpm

Суцільний вал (латунь) передає 50 kW при 1450 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa, а кут закручування — 0,75° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 50 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0,75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
55 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 10 m55 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 16 kN/mAB8 m2 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 10 mw = 16 kN/m від 0 до 8 m
Mmax = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
1504201612xрозміри в mm

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 150 mm і товщиною 16 mm, повну висоту 420 mm і стінку товщиною 12 mm. Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 150 mmH = 420 mmtf = 16 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
240101408xM = 40 kN·mрозміри в mm

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σверх на верхньому краї.

bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 140 mmM = 40 kN·m
σверх = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 10σy​ = 80τxy​ = 40MPa

У точці σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 30° за годинниковою стрілкою. Знайдіть нормальне напруження σy′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σx = 10 MPaσy = 80 MPaτxy = 40 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 130σy​ = 110τxy​ = −60MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° за годинниковою стрілкою від осі x.

σx = 130 MPaσy = 110 MPaτxy = −60 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 5 kN/mδL = 4 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 5 kN/mP = 27 kNδL = 1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 27 kNw = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 6 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 75 kNL = 2 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 75 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 75 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 70,74 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/200000 = 7,074 × 10⁻⁵ = 70,74 µε

Відповідь

ε = 70,74 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: Pmax = 530,9 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·7461 = 6,637 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,001143) = 0,0008 (сталь)

Найбільше навантаження

Pmax = 0,0008·6,637 × 10⁸ = 530929 N = 530,9 kN

Відповідь

Pmax = 530,9 kN
3.Кручення валів

Відповідь: G = 38,95 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 1,48·π/180 = 0,02583 rad

Модуль зсуву

T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·250/(4970·0,02583) = 38946 MPa
G = 38,95 GPa

Відповідь

G = 38,95 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 50,63 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm
dτ = ∛(16·329286/(π·60)) = 30,35 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·329286/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 50,63 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(30,35, 50,63) = 50,63 mm

Відповідь

d = 50,63 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 45,83 kN, R2 = 64,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 91,67, MC = 183,3 kN·m, MD = 165, ME = 146,7, MF = 128,3, MG = 0

Відповідь

Позначка C: MC = 183,3 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 184,3 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 16·8 = 128 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·10 = 16·8·4
RB = 512/10 = 51,2 kN
ΣFy = 0: RA = 128 − 51,2 = 76,8 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з RA, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 76,8/16 = 4,8 m

Максимальний момент

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 76,8·4,8 − 16·4,8²/2 = 184,3 kN·m

Відповідь

Mmax = 184,3 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 254,4 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.

hw = 420 − 2·16 = 388 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·420³ − 138·388³)/12
Ix = 2,544 × 10⁸ mm⁴ = 254,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 254,4 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σверх = 187,9 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 140 + 10/2 = 145 mm
стінка: Aw = 8·140 = 1120 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·145 + 1120·70)/3520 = 121,1 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·10³/12 + 2400·(145 − 121,1)² = 1,387 × 10⁶ mm⁴
стінка: 8·140³/12 + 1120·(70 − 121,1)² = 4,758 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,387 × 10⁶ + 4,758 × 10⁶ = 6,145 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 150 − 121,1 = 28,86 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·28,86/6,145 × 10⁶ = 187,9 MPa

Відповідь

σверх = 187,9 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σy′ = 97,14 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σy′ = 45 − (−35)·0,5 − 40·(−0,866) = 97,14 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σx′ = −7,141 MPa, σx′ + σy′ = 90 = σx + σy

Відповідь

σy′ = 97,14 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 180 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 120 + 10·0 + −60·−1 = 180 MPa

Відповідь

σθ = 180 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 65,88 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 65,88 mm

Відповідь

δmax = 65,88 mm
12.Прогин балки

Відповідь: δmax = 5,626 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 27000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 27000·1500³/(48·3,96 × 10¹¹) = 4,794 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·1500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 0,8323 mm

Додайте

δmax = 4,794 + 0,8323 = 5,626 mm

Відповідь

δmax = 5,626 mm
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 441 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

Відповідь

Pcr = 441 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 60,05 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 3·75000 = 225000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 60,05 mm

Відповідь

d = 60,05 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 93,25, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials