Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
300 kNØ30120 GPaØ80/50400 mmδ = ?

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 300 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 300 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 30 mmМідь1,5 mØ 20 mmСталь2 mP = 75 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 75 kNділянка 1: Ø30 mm, 1,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Кручення валівСередня
d1​ = 60 mmd2​ = 40 mmT = 500 N·mABC2,5 m2,5 m

Ступінчастий суцільний вал (сталь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 60 mm і довжину 2,5 m; ділянка BC має діаметр 40 mm і довжину 2,5 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 500 N·m. Знайдіть кут закручування φC кінця C у градусах.

T = 500 N·md1 = 60 mm, L1 = 2,5 md2 = 40 mm, L2 = 2,5 mG = 80 GPa
φC = °
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 100 kW при 1450 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 100 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 15 kNP2​ = 80 kNAB1 m1,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 4 mP1 = 15 kN у 1 mP2 = 80 kN у 2,5 m
Mmax = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
45 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 6 m20 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
240120t = 18xрозміри в mm

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 240 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 120 mm. Основа й полиці мають товщину 18 mm. Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 240 mmh = 120 mmt = 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
2802010020xM = 40 kN·mрозміри в mm

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σверх на верхньому краї.

bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 100 mmM = 40 kN·m
σверх = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 60σy​ = 50τxy​ = −10MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 60 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τmax.

σx = 60 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​τxy​верхня поверхня вала

Суцільний вал діаметром 20 mm сприймає згинальний момент 200 N·m разом з обертовим моментом 100 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τmax.

d = 20 mmM = 200 N·mT = 100 N·m
τmax = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 15 kN/mδL = 4 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 2 kN/mABδ6 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 2,5 m25 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 5 md = 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,2358 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·3063 = 5,089 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 300000·400/5,089 × 10⁸ = 0,2358 mm

Відповідь

δ = 0,2358 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 238,7 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 106,1 MPa
σ2 = 238,7 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 238,7 MPa

Відповідь

σmax = 238,7 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: φC = 4,266 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J1 = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 500 N·m = 500000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 500000·2500/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,01228 rad
φBC = 500000·2500/(80000·251327) = 0,06217 rad

Повний кут закручування

φC = 0,01228 + 0,06217 = 0,07445 rad = 4,266°

Відповідь

φC = 4,266°
4.Кручення валів

Відповідь: d = 43,77 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·658572/(π·40)) = 43,77 mm

Відповідь

d = 43,77 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 80,63 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·4 = 15·1 + 80·2,5
RB = 215/4 = 53,75 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 53,75 = 41,25 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·1 = 41,25·1 = 41,25 kN·m
під P2: M = RB·1,5 = 53,75·1,5 = 80,63 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 80,63 kN·m (під P2)

Відповідь

Mmax = 80,63 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 5 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 7 kN, R2 = 58 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 7, MC = −6, MD = −19, ME = −32, MF = −45 kN·m, MG = 0

Відповідь

Позначка F: MF = −45 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 10,45 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A1 = 240·18 = 4320 mm², y1 = 9 mm
дві полиці: A2 = 2·18·102 = 3672 mm², y2 = 18 + 102/2 = 69 mm

Центр ваги

ȳ = (4320·9 + 3672·69)/7992 = 36,57 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 240·18³/12 + 4320·(9 − 36,57)² = 3,4 × 10⁶ mm⁴
дві полиці: 2·18·102³/12 + 3672·(69 − 36,57)² = 7,046 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3,4 × 10⁶ + 7,046 × 10⁶
Ix = 1,045 × 10⁷ mm⁴ = 10,45 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 10,45 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σверх = 144,1 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
стінка: Aw = 20·100 = 2000 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·110 + 2000·50)/7600 = 94,21 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·20³/12 + 5600·(110 − 94,21)² = 1,583 × 10⁶ mm⁴
стінка: 20·100³/12 + 2000·(50 − 94,21)² = 5,576 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,583 × 10⁶ + 5,576 × 10⁶ = 7,159 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 120 − 94,21 = 25,79 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·25,79/7,159 × 10⁶ = 144,1 MPa

Відповідь

σверх = 144,1 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τmax = 11,18 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

σxyCτmax​

Радіус кола Мора

τmax = R = √(((60 − 50)/2)² + −10²) = 11,18 MPa

Відповідь

τmax = 11,18 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τmax = 142,4 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·20³) = 254,6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa
στxyCτmax​

Коло Мора

C = σ/2 = 127,3 MPa
R = √(127,3² + 63,66²) = 142,4 MPa

Відповідь

τmax = 142,4 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 5,952 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 5,952 mm

Відповідь

δmax = 5,952 mm
12.Прогин балки

Відповідь: hreq = 245,1 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·20) = 1,534 × 10⁸ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,534 × 10⁸/125)1/3 = 245,1 mm

Відповідь

hreq = 245,1 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 82,25 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1250² = 82247 N = 82,25 kN

Відповідь

Pcr = 82,25 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 5,64 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/10 = 350

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/350² = 5,64 MPa

Відповідь

σcr = 5,64 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials