Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 40 kNділянка 1: Ø40 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (латунь; зовнішній діаметр 40 mm, внутрішній діаметр 24 mm, довжина 2,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 750 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 750 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 25 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 2,5 m від A і 0,5 m від B, прикладено обертовий момент 500 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 25 mmT₀ = 500 N·ma = 2,5 mb = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 7 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 3 kN/m від 0 до 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 25 kN у 2 mw = 6 kN/m від 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 130 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 130 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 24,59 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/8,135 × 10⁻⁶ = 24586 N = 24,59 kN

Відповідь

P = 24,59 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,546 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 31,83 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 31,83·2000/70000 = 0,9095 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127,3·500/100000 = 0,6366 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,546 mm

Відповідь

δ = 1,546 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 12,59 °

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Кут закручування

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·2500/(39000·218755) = 0,2198 rad

φ = 0,2198·180/π = 12,59°

Відповідь

φ = 12,59°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 135,8 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·0,5/3 = 83,33 N·m

T_B = 500·2,5/3 = 416,7 N·m

Найбільше дотичне напруження

Визначальним є більший із двох моментів (діаметр однаковий).

τ_max = 16·416667/(π·25³) = 135,8 MPa

Відповідь

τ_max = 135,8 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 10,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Розріжте в x = 7 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 12·7 − 3·7·3,5 = 10,5 kN·m

Відповідь

M_x = 10,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 37 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2 + 6·4·2

R_B = 98/4 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 24,5 = 24,5 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 24,5·2 − 6·2·1 = 37 kN·m

Відповідь

M_x = 37 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 1257·105)/(30000 − 1257) = 73,69 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·1,312² = 56,3 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·31,31² = 1,358 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 35,34 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

стінка: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·285 + 3920·140)/5920 = 189 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·10³/12 + 2000·(285 − 189)² = 1,845 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·280³/12 + 3920·(140 − 189)² = 3,502 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,845 × 10⁷ + 3,502 × 10⁷ = 5,347 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 189 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·189/5,347 × 10⁷ = 35,34 MPa

Відповідь

σ_низ = 35,34 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 88,46 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((160 − 30)/2)² + −60²) = 88,46 MPa

Відповідь

τ_max = 88,46 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 31,7 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 70 + −50·0,866 + 10·0,5 = 31,7 MPa

Відповідь

σ_θ = 31,7 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 4,348 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 4,348 mm

Відповідь

δ = 4,348 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 28,93 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,893 × 10⁷ mm⁴

I_req = 28,93 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 28,93 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 11,7 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/3000² = 11697 N = 11,7 kN

Відповідь

P_cr = 11,7 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 90,5 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 90,5 mm

Відповідь

d = 90,5 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 221, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials