Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 60 мм, довжина 300 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 25 kNділянка 1: Ø40 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) передає 10 kW при 1000 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa, а кут закручування — 0,75° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 10 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 6 kN/m від 0 до 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 4 mP = 45 kN у 2 mw = 5 kN/m від 0 до 4 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 20 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mmM = 20 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 110 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 110 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 400 mm і товщиною стінки 10 mm містить газ під надлишковим тиском 2,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 40° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 400 mmt = 10 mmp = 2,5 MPaα = 40°

σ_n = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 55 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 55 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 55,54 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·2827) = 9,646 × 10⁻⁷ mm/N

Навантаження

P = 0,25/4,501 × 10⁻⁶ = 55539 N = 55,54 kN

Відповідь

P = 55,54 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,528 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 19,89 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 19,89·1000/70000 = 0,2842 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124,3·1000/100000 = 1,243 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,528 mm

Відповідь

δ = 1,528 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 7,015 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(39000·251327) = 0,1224 rad

φ = 0,1224·180/π = 7,015°

Відповідь

φ = 7,015°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 31,04 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·50)) = 21,35 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 31,04 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(21,35, 31,04) = 31,04 mm

Відповідь

d = 31,04 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 45 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Розріжте в x = 5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 24·5 − 6·5·2,5 = 45 kN·m

Відповідь

M_x = 45 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 55 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 5·4·2

R_B = 130/4 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 32,5 = 32,5 kN

Де V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 22,5 kN

V(2⁺) = 22,5 − 45 = −22,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 32,5·2 − 5·2²/2 = 55 kN·m

Відповідь

M_max = 55 kN·m

Це в точці x = 2 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 37,69 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

стінка: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·225 + 3960·110)/6760 = 157,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·10³/12 + 2800·(225 − 157,6)² = 1,273 × 10⁷ mm⁴

стінка: 18·220³/12 + 3960·(110 − 157,6)² = 2,496 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,273 × 10⁷ + 2,496 × 10⁷ = 3,769 × 10⁷ mm⁴ = 37,69 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 37,69 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 84,78 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

стінка: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·165 + 3200·80)/4800 = 108,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·10³/12 + 1600·(165 − 108,3)² = 5,151 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·160³/12 + 3200·(80 − 108,3)² = 9,396 × 10⁶ mm⁴

I_x = 5,151 × 10⁶ + 9,396 × 10⁶ = 1,455 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 170 − 108,3 = 61,67 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·61,67/1,455 × 10⁷ = 84,78 MPa

Відповідь

σ_верх = 84,78 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 41,23 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((110 − 90)/2)² + −40²) = 41,23 MPa

Відповідь

τ_max = 41,23 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 39,67 MPa

Напруження в стінці

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2,5·200/10 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 25·sin²40° + 50·cos²40° = 39,67 MPa

Відповідь

σ_n = 39,67 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 1,713 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 1,713 mm

Відповідь

δ = 1,713 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·6000⁴/(384·200000·16,67) = 5,063 × 10⁷ mm⁴

I_req = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 50,63 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 95,95 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/750² = 95954 N = 95,95 kN

Відповідь

P_cr = 95,95 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 51,09 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 51,09 mm

Відповідь

d = 51,09 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 156,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials