Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 60 mm закріплений в A. У B, на відстані 1 m від A, діє обертовий момент 500 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2,5 m далі, діє момент 250 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 60 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 1 mBC = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 40 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 1,5 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mM₀ = 40 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 1,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 7,5 mw = 4 kN/m від 0 до 7,5 mопори в x = 0 і x = 5 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 190 mm і товщиною 22 mm, повну висоту 260 mm і стінку товщиною 8 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 190 mmH = 260 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 30 MPa на розтяг і 120 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 25° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 75 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/250. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 75 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 15 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 15 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 40,09 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2,021 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/9,979 × 10⁻⁶ = 40085 N = 40,09 kN

Відповідь

P = 40,09 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 574,9 kN

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·7461 = 9,582 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,0006667) = 0,0006 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006·9,582 × 10⁸ = 574911 N = 574,9 kN

Відповідь

P_max = 574,9 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,5836 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(80000·613592) = 0,01019 rad

φ = 0,01019·180/π = 0,5836°

Відповідь

φ = 0,5836°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 1,588 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 500 = 750 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 750000·1000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,01511 rad

φ_BC = 250000·2500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,0126 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,01511 + 0,0126 = 0,02771 rad → |φ_C| = 1,588°

Відповідь

φ_C = 1,588°

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 28 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/5 = 8 kN (вгору)

R_A = −R_B = −8 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −8·1,5 + 40 = 28 kN·m

Відповідь

M_x = 28 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 7,031 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·7,5 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·7,5·3,75

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 7,5/4 = 1,875 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 7,5²/(2·4) = 7,031 kN·m

Відповідь

M_max = 7,031 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 125,4 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 260 − 2·22 = 216 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·260³ − 182·216³)/12

I_x = 1,254 × 10⁸ mm⁴ = 125,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 125,4 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 5,61 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (7500·272,5 + 2080·130)/9580 = 241,6 mm

верхній край: c = 285 − 241,6 = 43,44 mm

Момент інерції перерізу

I = 300·25³/12 + 7500·30,94² + 8·260³/12 + 2080·111,6² = 4,517 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 120·4,517 × 10⁷/43,44 = 124,8 kN·m

нижній край: M = 30·4,517 × 10⁷/241,6 = 5,61 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 5,61 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 5,61 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = −41,44 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 10/80,62 = 0,124, sin 2θ_s = −80/80,62 = −0,9923

2θ_s = atan2(−80, 10) = −82,87°

Кут на елементі

θ_s = −41,44°

перевірка: θ_s − θ_p = −41,44 − 3,563 = −45°

Відповідь

θ_s = −41,44°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 10,13 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−30·0,766 + −20·0,6428 = 10,13 MPa

Відповідь

τ_θ = 10,13 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,0062 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 8·2500³/(24·8,4 × 10¹¹) = 0,0062 rad

Відповідь

θ_A = 0,0062 rad

Це 0,3553°.

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 171,9 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·14) = 3,172 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·3,172 × 10⁷/75)^1/3 = 171,9 mm

Відповідь

h_req = 171,9 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 6,89 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6,89 kN

Відповідь

P_cr = 6,89 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 57,37 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 57,37 mm

Відповідь

d = 57,37 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 244, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials