Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) завдовжки 1,2 m передає обертовий момент 1000 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 1,5°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 1000 N·mL = 1,2 mG = 39 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 20 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 8 m10 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 15 kN у 4 mw = 4 kN/m від 0 до 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 270 mm і внутрішній діаметр d = 250 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 270 mmd = 250 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 20 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmM = 20 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 45° за годинниковою стрілкою. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 130 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 500 mm і товщиною стінки 10 mm містить газ під надлишковим тиском 2,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 40° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 500 mmt = 10 mmp = 2,5 MPaα = 40°

σ_n = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 20 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 20 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 848,8 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/100000 = 0,0008488 = 848,8 µε

Відповідь

ε = 848,8 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 28,41 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 70000·706,9/300 = 164934 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·164934/328558 = 20080 N

Напруження

σ₂ = 20080/706,9 = 28,41 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 28,41 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: d = 58,82 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1200/(39000·0,02618) = 1,175 × 10⁶ mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 58,82 mm

Відповідь

d = 58,82 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 19,31 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·75)) = 19,31 mm

Відповідь

d = 19,31 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 48,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 43,33, M_C = 86,67, M_D = 130, M_E = 173,3 kN·m, M_F = 96,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 173,3 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 84 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·4 + 4·10·5

R_B = 260/10 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 26 = 29 kN

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 29·4 − 4·4·2 = 84 kN·m

Відповідь

M_x = 84 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 91,99 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 8168 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,912 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(6,912 × 10⁷/8168) = 91,99 mm

Відповідь

r = 91,99 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 153 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

стінка: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·175 + 2240·80)/7040 = 144,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·30³/12 + 4800·(175 − 144,8)² = 4,746 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·160³/12 + 2240·(80 − 144,8)² = 1,418 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,746 × 10⁶ + 1,418 × 10⁷ = 1,892 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 144,8 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·144,8/1,892 × 10⁷ = 153 MPa

Відповідь

σ_низ = 153 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 20 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 80 − 50·0 − (−60)·(−1) = 20 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 140 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 20 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 49,59 MPa

Напруження в стінці

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2,5·250/10 = 62,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 31,25 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 31,25·sin²40° + 62,5·cos²40° = 49,59 MPa

Відповідь

σ_n = 49,59 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,577 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 1,577 mm

Відповідь

δ_max = 1,577 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·200000·11,11) = 3 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 3 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,478 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Відповідь

P_cr = 8,478 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 114,2 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 114,2 mm

Відповідь

d = 114,2 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 420,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials