Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 75 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 5 m45 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mP = 55 kN у 7 mw = 10 kN/m від 0 до 8 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 20 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmM = 20 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 0 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 40° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 0 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 9 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1,5 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δ_max балки.

P = 15 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 120 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 120 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 2132 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/70000 = 0,002132 = 2132 µε

Відповідь

ε = 2132 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 461,8 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5890 = 7,697 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,0006667) = 0,0006 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006·7,697 × 10⁸ = 461814 N = 461,8 kN

Відповідь

P_max = 461,8 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,8549 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·251327) = 0,01492 rad

φ = 0,01492·180/π = 0,8549°

Відповідь

φ = 0,8549°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 45,99 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75)) = 45,99 mm

Відповідь

d = 45,99 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 1 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 40,83 kN, R₂ = 24,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 40,83 kN·m, M_C = 36,67, M_D = 32,5, M_E = 28,33, M_F = 24,17, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = 40,83 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 109,9 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·7 + 10·8·4

R_B = 705/8 = 88,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 88,13 = 46,88 kN

Де V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 46,88/10 = 4,688 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 46,88·4,688 − 10·4,688²/2 = 109,9 kN·m

Відповідь

M_max = 109,9 kN·m

Це в точці x = 4,688 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 15,22 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

стінка: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·192,5 + 1440·90)/5440 = 165,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·25³/12 + 4000·(192,5 − 165,4)² = 3,153 × 10⁶ mm⁴

стінка: 8·180³/12 + 1440·(90 − 165,4)² = 1,207 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,153 × 10⁶ + 1,207 × 10⁷ = 1,522 × 10⁷ mm⁴ = 15,22 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 15,22 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 200,1 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

стінка: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·165 + 2240·80)/3840 = 115,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·10³/12 + 1600·(165 − 115,4)² = 3,947 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·160³/12 + 2240·(80 − 115,4)² = 7,588 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,947 × 10⁶ + 7,588 × 10⁶ = 1,154 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 115,4 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·115,4/1,154 × 10⁷ = 200,1 MPa

Відповідь

σ_низ = 200,1 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 109,8 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 60 − (−60)·0,1736 − (−40)·0,9848 = 109,8 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 10,19 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 109,8 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 138,2 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 50 + 90·0,766 + 30·0,6428 = 138,2 MPa

Відповідь

σ_θ = 138,2 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 5,825 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 9000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 9000·2500³/(3·1,14 × 10¹³) = 4,112 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 1,713 mm

Додайте

δ = 4,112 + 1,713 = 5,825 mm

Відповідь

δ = 5,825 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,305 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 15000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Максимальний прогин

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,305 mm

Відповідь

δ_max = 1,305 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 67,29 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/750² = 67288 N = 67,29 kN

Відповідь

P_cr = 67,29 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 98,87 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 98,87 mm

Відповідь

d = 98,87 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 121,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials