Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 30 mmСталь1,5 mP = 100 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
80 kN12400 mm500 mmØ40Ø60σ2​ = ?

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 80 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ2 в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.Кручення валівСередня
T = 500 N·md = 30 mmL = 2,5 mφ = ?

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 500 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
d = 60 mmTB​ = 1000 N·mTC​ = 500 N·mABC1,5 m1 m

Суцільний вал (алюміній) діаметром 60 mm закріплений в A. У B, на відстані 1,5 m від A, діє обертовий момент 1000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1 m далі, діє момент 500 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τmax у валу.

d = 60 mmTB = 1000 N·mTC = 500 N·mAB = 1,5 mBC = 1 m
τmax = MPa
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 45 kNP2​ = 50 kNAB2 m1,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 5 mP1 = 45 kN у 2 mP2 = 50 kN у 3,5 m
Mmax = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
12 kN/m15 kN25 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 0 m25 kN @ 6 m60 kN @ 2 m12 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
120 mm150 mm52,5 mmØ50xIx​ = ?

Пластина 120 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 52,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
130280142601616xрозміри в mm

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 130 × 14 mm, стінку висотою 260 mm і товщиною 16 mm та нижню полицю 280 × 16 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції Ix відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 130 × 14 mmстінка: 16 × 260 mmнижня полиця: 280 × 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = −80σy​ = 80τxy​ = 30MPa

У точці σₓ = −80 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 20° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σy′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σx = −80 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPaθ = 20°
σy′ = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
50°D = 600 mm, t = 8 mm, p = 2,5 MPap

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 600 mm і товщиною стінки 8 mm містить газ під надлишковим тиском 2,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 50° до осі циліндра. Знайдіть величину дотичного напруження |τn|, що діє вздовж зварного шва.

D = 600 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 50°
|τn| = MPa
11.Прогин балкиСередня
P = 25 kNABδ3 m2 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 3 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 25 kNa = 3 mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Прогин балкиСкладна
P = 13 kNABδ3 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δmax балки.

P = 13 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 6 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 2 md = 25 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 707,4 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/200000 = 0,0007074 = 707,4 µε

Відповідь

ε = 707,4 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ2 = 10,94 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Частка ділянки 2

F2 = 80000·395841/1,024 × 10⁶ = 30920 N

Напруження

σ2 = 30920/2827 = 10,94 MPa (стиск)

Відповідь

σ2 = 10,94 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 23,09 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(39000·79522) = 0,4031 rad
φ = 0,4031·180/π = 23,09°

Відповідь

φ = 23,09°
4.Кручення валів

Відповідь: τmax = 11,79 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Внутрішні крутні моменти

Напрямок TC прийнято за додатний.

TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC − TB = 500 − 1000 = −500 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|max = 500 N·m
τmax = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Відповідь

τmax = 11,79 MPa
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 84 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·5 = 45·2 + 50·3,5
RB = 265/5 = 53 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 53 = 42 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·2 = 42·2 = 84 kN·m
під P2: M = RB·1,5 = 53·1,5 = 79,5 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 84 kN·m (під P1)

Відповідь

Mmax = 84 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 61,33 kN, R2 = 74,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = −15, MC = 25,33, MD = −6,333, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0

Відповідь

Позначка E: ME = −50 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 32,33 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (18000·75 − 1963·52,5)/(18000 − 1963) = 77,75 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·150³/12 + 18000·−2,755² = 33,89 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−25,25² = 1,559 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 32,33 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 32,33 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 130 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 1820 mm², y = 283 mm
стінка: A = 4160 mm², y = 146 mm
нижня полиця: A = 4480 mm², y = 8 mm

Центр ваги

ȳ = (1820·283 + 4160·146 + 4480·8)/10460 = 110,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 130·14³/12 + 1820·172,3² = 5,404 × 10⁷ mm⁴
стінка: 16·260³/12 + 4160·35,27² = 2,861 × 10⁷ mm⁴
нижня полиця: 280·16³/12 + 4480·102,7² = 4,738 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,404 × 10⁷ + 2,861 × 10⁷ + 4,738 × 10⁷
Ix = 1,3 × 10⁸ mm⁴ = 130 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 130 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σy′ = 42 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σy′ = 0 − (−80)·0,766 − 30·0,6428 = 42 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σx′ = −42 MPa, σx′ + σy′ = 0 = σx + σy

Відповідь

σy′ = 42 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: |τn| = 23,08 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σh = pr/t і осьове напруження σa = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 2,5·300/8 = 93,75 MPa
σa = pr/(2t) = 46,88 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σa), а y по колу (σh). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

|τn| = (93,75 − 46,88)·sin 50°·cos 50° = 23,08 MPa

Відповідь

|τn| = 23,08 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δP = 10,2 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 25000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 25000·3000²·2000²/(3·5,88 × 10¹²·5000) = 10,2 mm

Відповідь

δP = 10,2 mm
12.Прогин балки

Відповідь: δmax = 7,523 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 13000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Максимальний прогин

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 7,523 mm

Відповідь

δmax = 7,523 mm
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 38,59 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Відповідь

Pcr = 38,59 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 19,28 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/6,25 = 320

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Відповідь

σcr = 19,28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials