Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 85 kNd = 16 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 65 kNділянка 1: Ø40 mm, 1,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 40 mm, внутрішній діаметр 20 mm, довжина 3 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 400 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 400 N·md_o = 40 mmd_i = 20 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 15 kW при 500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 15 kWN = 500 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 30 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 5 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mM₀ = 30 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 0 m50 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 190 mm і товщиною 16 mm, повну висоту 440 mm і стінку товщиною 8 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 190 mmH = 440 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 20 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає осьову стискальну силу 170 kN разом з обертовим моментом 400 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 30 mmF = −170 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 27 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 6,341 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/201,1 = 422,8 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 422,8/200000 = 0,002114 = 2114 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,002114·3000 mm = 6,341 mm

Відповідь

δ = 6,341 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 574,7 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 574,7 MPa

Відповідь

σ_max = 574,7 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 11,22 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Кут закручування

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·3000/(26000·235619) = 0,1959 rad

φ = 0,1959·180/π = 11,22°

Відповідь

φ = 11,22°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 30 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·20/190984 = 30 MPa

Відповідь

τ_max = 30 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/6 = 5 kN (вгору)

R_A = −R_B = −5 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·5 + 30 = 5 kN·m

Відповідь

M_x = 5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 0 kN, R₂ = 75 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −100, M_D = −150, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −200 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 318,7 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 440 − 2·16 = 408 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·440³ − 182·408³)/12

I_x = 3,187 × 10⁸ mm⁴ = 318,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 318,7 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 45,16 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

стінка: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·150 + 2520·70)/8120 = 125,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·20³/12 + 5600·(150 − 125,2)² = 3,639 × 10⁶ mm⁴

стінка: 18·140³/12 + 2520·(70 − 125,2)² = 1,179 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,639 × 10⁶ + 1,179 × 10⁷ = 1,543 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 160 − 125,2 = 34,83 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·34,83/1,543 × 10⁷ = 45,16 MPa

Відповідь

σ_верх = 45,16 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 10 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−50 − −50)/2)² + −10²) = 10 MPa

Відповідь

τ_max = 10 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 21,71 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = −170000/(π·30²/4) = −170000/706,9 = −240,5 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = −120,3 MPa

R = √((−120,3)² + 75,45²) = 142 MPa

σ₁ = C + R = 21,71 MPa

σ₂ = C − R = −262,2 MPa

Відповідь

σ₁ = 21,71 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 15,15 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 15,15 mm

Відповідь

δ_max = 15,15 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,645 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 27000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·2500³/(48·7,2 × 10¹²) = 1,221 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 0,4239 mm

Додайте

δ_max = 1,221 + 0,4239 = 1,645 mm

Відповідь

δ_max = 1,645 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 284,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1250² = 284245 N = 284,2 kN

Відповідь

P_cr = 284,2 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 7,676 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Відповідь

σ_cr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials