Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 110 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 60 kNділянка 1: Ø30 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (сталь; зовнішній діаметр 40 mm, внутрішній діаметр 20 mm, довжина 3 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 1500 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 1500 N·md_o = 40 mmd_i = 20 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 30 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 5 m від A. Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від защемлення A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 10 kN у 5 mw = 8 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 45 kN у 2 mw = 5 kN/m від 0 до 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 30 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 60 mm сприймає осьову стискальну силу 170 kN разом з обертовим моментом 1000 N·m. На поверхні вала знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 60 mmF = −170 kNT = 1000 N·m

τ_max = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 12 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 10 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 10 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 30,01 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1401/70000 = 0,02001 = 20008 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,02001·1500 mm = 30,01 mm

Відповідь

δ = 30,01 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 191 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 84,88 MPa

σ₂ = 191 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 191 MPa

Відповідь

σ_max = 191 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 13,68 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Кут закручування

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·3000/(80000·235619) = 0,2387 rad

φ = 0,2387·180/π = 13,68°

Відповідь

φ = 13,68°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 28,97 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·80)) = 28,97 mm

Відповідь

d = 28,97 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = −104 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Залиште частину з вільним кінцем

P: −10·4 = −40 kN·m

w: −8·4²/2 = −64 kN·m

M_x = −40 − 64 = −104 kN·m

Відповідь

M_x = −104 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 80 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 5·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 30 = 45 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 45·2 − 5·2·1 = 80 kN·m

Відповідь

M_x = 80 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 8,12 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

стінка: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·130 + 1680·60)/6080 = 110,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·20³/12 + 4400·(130 − 110,7)² = 1,793 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·120³/12 + 1680·(60 − 110,7)² = 6,327 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,793 × 10⁶ + 6,327 × 10⁶ = 8,12 × 10⁶ mm⁴ = 8,12 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 8,12 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 74,7 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

стінка: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·265 + 2600·130)/4400 = 185,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 180·10³/12 + 1800·(265 − 185,2)² = 1,147 × 10⁷ mm⁴

стінка: 10·260³/12 + 2600·(130 − 185,2)² = 2,258 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,147 × 10⁷ + 2,258 × 10⁷ = 3,405 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 270 − 185,2 = 84,77 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·84,77/3,405 × 10⁷ = 74,7 MPa

Відповідь

σ_верх = 74,7 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 48,03 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 60 MPa, R = √((−20)² + 30²) = 36,06 MPa

σ₁ = 96,06 MPa, σ₂ = 23,94 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72,11, 96,06, 23,94)/2 = 48,03 MPa

Відповідь

τ_abs = 48,03 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 38,21 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = −170000/(π·60²/4) = −170000/2827 = −60,13 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23,58 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = −30,06 MPa

R = √((−30,06)² + 23,58²) = 38,21 MPa

Відповідь

τ_max = 38,21 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 60,95 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 2·8000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 60,95 mm

Відповідь

δ = 60,95 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 35,02 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 12000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·3000³/(48·2,53 × 10¹¹) = 26,68 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 8,337 mm

Додайте

δ_max = 26,68 + 8,337 = 35,02 mm

Відповідь

δ_max = 35,02 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 347,3 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Відповідь

P_cr = 347,3 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 22,54 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 22,54 mm

Відповідь

d = 22,54 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 177,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials