Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 30 mmЛатунь3 mP = 40 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
50 kN12300 mm200 mmØ30Ø30σ2​ = ?

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 50 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ2 в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.Кручення валівСередня
T = 500 N·md = 30 mmL = 2,5 mφ = ?

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 500 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 15 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 15 kWN = 1800 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
M0​ = 50 kN·mAB4 m4 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 50 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 4 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mM0 = 50 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 4 m
Mx = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 2 kN/mP = 45 kNAB3 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 4 mP = 45 kN у 3 mw = 2 kN/m від 0 до 4 m
Mmax = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
1302601210xрозміри в mm

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 130 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 260 mm і стінку товщиною 10 mm. Знайдіть його пружний момент опору Sx при згині відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 130 mmH = 260 mmtf = 12 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
3003014010xM = 10 kN·mрозміри в mm

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть напруження згину σниз на нижньому краї.

bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 140 mmM = 10 kN·m
σниз = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 130σy​ = −50τxy​ = 40MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = 130 MPaσy = −50 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 0σy​ = 50τxy​ = −50MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 0 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° за годинниковою стрілкою від осі x.

σx = 0 MPaσy = 50 MPaτxy = −50 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 12 kN/mδL = 2 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 1,5 kN/mABδ4 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/250. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 1,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 1 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 4 md = 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 565,9 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 40·1000/706,9 = 56,59 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 56,59/100000 = 0,0005659 = 565,9 µε

Відповідь

ε = 565,9 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ2 = 31,98 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

Частка ділянки 2

F2 = 50000·388772/860011 = 22603 N

Напруження

σ2 = 22603/706,9 = 31,98 MPa (стиск)

Відповідь

σ2 = 31,98 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 11,26 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·79522) = 0,1965 rad
φ = 0,1965·180/π = 11,26°

Відповідь

φ = 11,26°
4.Кручення валів

Відповідь: d = 21,64 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·79577/(π·40)) = 21,64 mm

Відповідь

d = 21,64 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 50/8 = 6,25 kN (вгору)
RA = −RB = −6,25 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить RA і зосереджений момент.

Mx = RA·a + M0 = −6,25·4 + 50 = 25 kN·m

Відповідь

Mx = 25 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 36,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·3 + 2·4·2
RB = 151/4 = 37,75 kN
ΣFy = 0: RA = 53 − 37,75 = 15,25 kN

Де V = 0?

V(3⁻) = RA − w·3 = 9,25 kN
V(3⁺) = 9,25 − 45 = −35,75 kN
Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 15,25·3 − 2·3²/2 = 36,75 kN·m

Відповідь

Mmax = 36,75 kN·m

Це в точці x = 3 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Sx = 453,6 × 10³ mm³

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.

hw = 260 − 2·12 = 236 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (130·260³ − 120·236³)/12
Ix = 5,896 × 10⁷ mm⁴

Момент опору перерізу

c = H/2 = 130 mm
Sx = I/c = 5,896 × 10⁷/130
Sx = 453570 mm³ = 453,6 × 10³ mm³

Відповідь

Sx = 453,6 × 10³ mm³
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σниз = 122,5 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 300·30 = 9000 mm², yf = 140 + 30/2 = 155 mm
стінка: Aw = 10·140 = 1400 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (9000·155 + 1400·70)/10400 = 143,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·30³/12 + 9000·(155 − 143,6)² = 1,853 × 10⁶ mm⁴
стінка: 10·140³/12 + 1400·(70 − 143,6)² = 9,862 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,853 × 10⁶ + 9,862 × 10⁶ = 1,172 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 143,6 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·143,6/1,172 × 10⁷ = 122,5 MPa

Відповідь

σниз = 122,5 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = 11,98 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·40, 130 − −50) = 23,96°

Кут на елементі

θp = 11,98°

Відповідь

θp = 11,98°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 75 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 25 + −25·0 + −50·−1 = 75 MPa

Відповідь

σθ = 75 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δ = 14,12 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 14,12 mm

Відповідь

δ = 14,12 mm
12.Прогин балки

Відповідь: hreq = 139,7 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1,5·4000⁴/(384·11000·16) = 2,841 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,841 × 10⁷/125)1/3 = 139,7 mm

Відповідь

hreq = 139,7 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 151,4 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Відповідь

Pcr = 151,4 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 8,812 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/10 = 280

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Відповідь

σcr = 8,812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials