Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 200 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 200 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 50 мм, довжина 400 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 80 mm, внутрішній діаметр 56 mm, довжина 2,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 2000 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 2000 N·md_o = 80 mmd_i = 56 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 100 kW при 1500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 12 kN/m від 0 до 10 mx = 1 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 35 kN у 1 mw = 3 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 250 mm і товщиною 24 mm, повну висоту 440 mm і стінку товщиною 12 mm. Він сприймає згинальний момент 60 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 250 mmH = 440 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 80 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 30° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/250. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 2 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 140 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 140 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,08443 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·9346 = 1,184 × 10⁹ N

Вкорочення

δ = 200000·500/1,184 × 10⁹ = 0,08443 mm

Відповідь

δ = 0,08443 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 16,49 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 60000·490874/909753 = 32374 N

Напруження

σ₂ = 32374/1963 = 16,49 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 16,49 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 3,606 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·2500/(26000·3,056 × 10⁶) = 0,06293 rad

φ = 0,06293·180/π = 3,606°

Відповідь

φ = 3,606°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 34,35 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Відповідь

d = 34,35 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 48 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 60 − 12·1 = 48 kN

Відповідь

V_x = 48 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 34 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1 + 3·5·2,5

R_B = 72,5/5 = 14,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 14,5 = 35,5 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 35,5·1 − 3·1·0,5 = 34 kN·m

Відповідь

M_x = 34 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 37 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

стінка: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·250 + 2400·120)/6400 = 201,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·20³/12 + 4000·(250 − 201,3)² = 9,64 × 10⁶ mm⁴

стінка: 10·240³/12 + 2400·(120 − 201,3)² = 2,736 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,64 × 10⁶ + 2,736 × 10⁷ = 3,7 × 10⁷ mm⁴ = 37 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 37 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 20,28 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 440 − 2·24 = 392 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·440³ − 238·392³)/12

I_x = 5,8 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 220 − 24 = 196 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·196/5,8 × 10⁸ = 20,28 MPa

Відповідь

σ_j = 20,28 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −5,981 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 40 − 40·0,5 − 30·0,866 = −5,981 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 85,98 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −5,981 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 42,29 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−50·0,9848 + 40·−0,1736 = 42,29 MPa

Відповідь

τ_θ = 42,29 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,0202 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 8·2000³/(24·1,32 × 10¹¹) = 0,0202 rad

Відповідь

θ_A = 0,0202 rad

Це 1,157°.

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 134,6 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·14) = 2,538 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·2,538 × 10⁷/125)^1/3 = 134,6 mm

Відповідь

h_req = 134,6 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 5,757 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2000² = 5757 N = 5,757 kN

Відповідь

P_cr = 5,757 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 65,65 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 65,65 mm

Відповідь

d = 65,65 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 91,39, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials