Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 20 mmАлюміній2 mP = 120 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 25 mmСталь0,5 mØ 12 mmМідь1 mP = 70 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 70 kNділянка 1: Ø25 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Кручення валівСередня
T = 200 N·md = 25 mmL = 1 mφ = ?

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
d = 25 mmT0​ = 250 N·mACBa = 3 mb = 0,8 m

Суцільний вал (сталь) діаметром 25 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 3 m від A і 0,8 m від B, прикладено обертовий момент 250 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τmax у валу.

d = 25 mmT0 = 250 N·ma = 3 mb = 0,8 m
τmax = MPa
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
30 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 6 m45 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 8 kN/mABC6 m2,5 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть відстань xc від A до точки перегину між опорами (де згинальний момент змінює знак).

L = 8,5 mw = 8 kN/m від 0 до 8,5 mопори в x = 0 і x = 6 m
xc = m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
300302608xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
1003010012xM = 15 kN·mрозміри в mm

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть напруження згину σниз на нижньому краї.

bf = 100 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 100 mmM = 15 kN·m
σниз = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σy​ = −80τxy​ = 50MPa

У точці σₓ = 0 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 15° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σy′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σx = 0 MPaσy = −80 MPaτxy = 50 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σy​ = 70τxy​ = 40MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). Границя текучості матеріалу 355 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σx = 0 MPaσy = 70 MPaτxy = 40 MPaσY = 355 MPa
n =
11.Прогин балкиСередня
w = 5 kN/mδL = 3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 10 kN/mP = 24 kNδL = 3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 24 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 2 m20 × 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 1 md = 25 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 5457 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 120·1000/314,2 = 382 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 382/70000 = 0,005457 = 5457 µε

Відповідь

ε = 5457 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 618,9 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 142,6 MPa
σ2 = 618,9 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 618,9 MPa

Відповідь

σmax = 618,9 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 11,49 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·38350) = 0,2006 rad
φ = 0,2006·180/π = 11,49°

Відповідь

φ = 11,49°
4.Кручення валів

Відповідь: τmax = 64,33 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·0,8/3,8 = 52,63 N·m
TB = 250·3/3,8 = 197,4 N·m

Найбільше дотичне напруження

Визначальним є більший із двох моментів (діаметр однаковий).

τmax = 16·197368/(π·25³) = 64,33 MPa

Відповідь

τmax = 64,33 MPa
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 52,5 kN, R2 = 22,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 105, MC = 120, MD = 135 kN·m, ME = 90, MF = 45, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 135 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: xc = 4,958 m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·8,5 = 68 kN, прикладена в x̄ = 4,25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·8,5·4,25
RB = 289/6 = 48,17 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 48,17 = 19,83 kN

Нульовий момент

Між опорами M(x) = RA·x − w·x²/2. Крім x = 0, він дорівнює нулю в x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·19,83/8 = 4,958 m

Відповідь

xc = 4,958 m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 47,91 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 300·30 = 9000 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
стінка: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (9000·275 + 2080·130)/11080 = 247,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·30³/12 + 9000·(275 − 247,8)² = 7,343 × 10⁶ mm⁴
стінка: 8·260³/12 + 2080·(130 − 247,8)² = 4,057 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,343 × 10⁶ + 4,057 × 10⁷ = 4,791 × 10⁷ mm⁴ = 47,91 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 47,91 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σниз = 298,5 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 100 + 30/2 = 115 mm
стінка: Aw = 12·100 = 1200 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·115 + 1200·50)/4200 = 96,43 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·30³/12 + 3000·(115 − 96,43)² = 1,26 × 10⁶ mm⁴
стінка: 12·100³/12 + 1200·(50 − 96,43)² = 3,587 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,26 × 10⁶ + 3,587 × 10⁶ = 4,846 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 96,43 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·96,43/4,846 × 10⁶ = 298,5 MPa

Відповідь

σниз = 298,5 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σy′ = −99,64 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σy′ = −40 − 40·0,866 − 50·0,5 = −99,64 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σx′ = 19,64 MPa, σx′ + σy′ = −80 = σx + σy

Відповідь

σy′ = −99,64 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 3,34

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σY; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Головні напруження

C = 35 MPa, R = 53,15 MPa
σ1 = 88,15 MPa, σ2 = −18,15 MPa, σ3 = 0

Треска

σmax − σmin = 106,3 MPa
n = 355/106,3 = 3,34

Відповідь

n = 3,34

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 8,411 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 8,411 mm

Відповідь

δmax = 8,411 mm
12.Прогин балки

Відповідь: δmax = 2,109 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 24000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 24000·3000³/(48·1,14 × 10¹³) = 1,184 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 0,9252 mm

Додайте

δmax = 1,184 + 0,9252 = 2,109 mm

Відповідь

δmax = 2,109 mm
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 3,29 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/4000² = 3290 N = 3,29 kN

Відповідь

Pcr = 3,29 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 77,11 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6,25 = 160

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Відповідь

σcr = 77,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials