Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 70 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 30 kNділянка 1: Ø25 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 500 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 30 kW при 750 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 30 kWN = 750 rpmd_o = 80 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 8 kN/m від 0 до 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 0 m40 kN @ 6 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Порожнистий прямокутний (коробчастий) переріз має зовнішню ширину B = 220 mm, зовнішню висоту H = 400 mm і сталу товщину стінки t = 8 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

B = 220 mmH = 400 mmt = 8 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 140 mm і товщиною 10 mm, повну висоту 300 mm і стінку товщиною 10 mm. Він сприймає згинальний момент 60 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 140 mmH = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 460 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = −30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 9 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 10,44 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/201,1 = 348,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 348,2/100000 = 0,003482 = 3482 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,003482·3000 mm = 10,44 mm

Відповідь

δ = 10,44 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 149,2 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 61,12 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 149,2 MPa

Відповідь

σ_max = 149,2 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 11,21 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·38350) = 0,1956 rad

φ = 0,1956·180/π = 11,21°

Відповідь

φ = 11,21°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 4,365 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Полярний момент інерції

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·40/3,5 × 10⁶ = 4,365 MPa

Відповідь

τ_max = 4,365 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 64 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 40·2 − 8·2·1 = 64 kN·m

Відповідь

M_x = 64 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 5 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 31,25 kN, R₂ = 73,75 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −18,75, M_D = −12,5, M_E = −6,25, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Відповідь

Позначка F: M_F = −40 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 147,7 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

b = 204 mm, h = 384 mm

A = BH − bh = 220·400 − 204·384 = 9664 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,107 × 10⁸ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(2,107 × 10⁸/9664) = 147,7 mm

Відповідь

r = 147,7 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 108,8 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 300 − 2·10 = 280 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·300³ − 130·280³)/12

I_x = 7,719 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

y = 150 − 10 = 140 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·140/7,719 × 10⁷ = 108,8 MPa

Відповідь

σ_j = 108,8 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 96,05 MPa

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((130 − −20)/2)² + 60²) = 96,05 MPa

Відповідь

τ_max = 96,05 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 4,856

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = −50 MPa, R = 44,72 MPa

σ₁ = −5,279 MPa, σ₂ = −94,72 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 94,72 MPa

n = 460/94,72 = 4,856

Відповідь

n = 4,856

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,01409 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2500³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,01409 rad

Відповідь

θ_A = 0,01409 rad

Це 0,8074°.

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 4,266 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 9000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·2000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 1,786 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 2,48 mm

Додайте

δ_max = 1,786 + 2,48 = 4,266 mm

Відповідь

δ_max = 4,266 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,052 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN

Відповідь

P_cr = 3,052 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 69,09 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/7,5 = 100

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Відповідь

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials