Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 600 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 300 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 300 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 120 kNділянка 1: Ø30 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 0,8 m передає обертовий момент 1000 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 3°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 1000 N·mL = 0,8 mG = 26 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 60 mm закріплений в A. У B, на відстані 3 m від A, діє обертовий момент 1000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 3 m далі, діє момент 100 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 60 mmT_B = 1000 N·mT_C = 100 N·mAB = 3 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 10 kN/m від 0 до 4 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 0 m60 kN @ 6 m60 kN @ 3 m10 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 60 MPa на розтяг і 120 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −30 MPa і σᵧ = 40 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 90 MPa?

σ_x = −30 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 90 MPa

τ_xy = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 300 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = 90 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,6095 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·2199 = 2,953 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 300000·600/2,953 × 10⁸ = 0,6095 mm

Відповідь

δ = 0,6095 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 382 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 169,8 MPa

σ₂ = 382 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 382 MPa

Відповідь

σ_max = 382 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: d = 49,46 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·800/(26000·0,05236) = 587649 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 49,46 mm

Відповідь

d = 49,46 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 25,94 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 1000 = 1100 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 1100 N·m

τ_max = 16·1,1 × 10⁶/(π·60³) = 25,94 MPa

Відповідь

τ_max = 25,94 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 5 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 20 − 10·1,5 = 5 kN

Відповідь

V_x = 5 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 5 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 47,5 kN, R₂ = 122,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −10, M_C = 22,5, M_D = 45, M_E = −2,5, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Відповідь

Позначка F: M_F = −60 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 98,12 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·100 − 2827·120)/(30000 − 2827) = 97,92 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·200³/12 + 30000·2,081² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·22,08² = 2,015 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 98,12 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 98,12 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 15,21 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (3600·227,5 + 3960·110)/7560 = 166 mm

верхній край: c = 235 − 166 = 69,05 mm

Момент інерції перерізу

I = 240·15³/12 + 3600·61,55² + 18·220³/12 + 3960·55,95² = 4,207 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 120·4,207 × 10⁷/69,05 = 73,12 kN·m

нижній край: M = 60·4,207 × 10⁷/166 = 15,21 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 15,21 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 15,21 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 77,46 MPa

Потрібний радіус

C = (−30 + 40)/2 = 5 MPa

R = σ₁ − C = 90 − 5 = 85 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 35²) = 77,46 MPa

Відповідь

τ_xy = 77,46 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,279

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 100 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = 131,6 MPa, σ₂ = 68,38 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 131,6 MPa

n = 300/131,6 = 2,279

Відповідь

n = 2,279

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 30,01 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·2,53 × 10¹¹) = 30,01 mm

Відповідь

δ = 30,01 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 260,5 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,841 × 10⁸ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,841 × 10⁸/125)^1/3 = 260,5 mm

Відповідь

h_req = 260,5 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 25,63 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25,63 kN

Відповідь

P_cr = 25,63 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 11,99 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Відповідь

σ_cr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials