Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 300 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 50 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 50 kNстрижень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 30 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 4 m40 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

55 kN @ 12 m10 kN @ 2 m6 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 50 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −50 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2,5 m від A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 15 kNa = 2,5 mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,01172 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

Вкорочення

δ = 50000·300/1,279 × 10⁹ = 0,01172 mm

Відповідь

δ = 0,01172 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 711,5 kN

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·9346 = 1,22 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,0005833) = 0,0005833 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0005833·1,22 × 10⁹ = 711505 N = 711,5 kN

Відповідь

P_max = 711,5 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,915 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(39000·613592) = 0,03343 rad

φ = 0,03343·180/π = 1,915°

Відповідь

φ = 1,915°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 27,26 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·40)) = 27,26 mm

Відповідь

d = 27,26 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 46,67 kN, R₂ = 53,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 93,33, M_C = 186,7 kN·m, M_D = 160, M_E = 133,3, M_F = 106,7, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 186,7 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 4 kN, R₂ = 109 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −4, M_C = −52, M_D = −124, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −220 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 14,17 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

стінка: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·152,5 + 1960·70)/9460 = 135,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·25³/12 + 7500·(152,5 − 135,4)² = 2,582 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·140³/12 + 1960·(70 − 135,4)² = 1,159 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,582 × 10⁶ + 1,159 × 10⁷ = 1,417 × 10⁷ mm⁴ = 14,17 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 14,17 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 329,2 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

стінка: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·225 + 2640·110)/4040 = 149,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·10³/12 + 1400·(225 − 149,9)² = 7,918 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·220³/12 + 2640·(110 − 149,9)² = 1,484 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,918 × 10⁶ + 1,484 × 10⁷ = 2,276 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 149,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·149,9/2,276 × 10⁷ = 329,2 MPa

Відповідь

σ_низ = 329,2 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 13,28 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 10 − −70) = 26,57°

Кут на елементі

θ_p = 13,28°

Відповідь

θ_p = 13,28°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 85 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 35 + −85·0 + −50·−1 = 85 MPa

Відповідь

σ_θ = 85 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 32,55 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 15000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa³/(3EI) = 15000·2500³/(3·2,4 × 10¹²) = 32,55 mm

Відповідь

δ_P = 32,55 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·11000·5,556) = 3,409 × 10⁷ mm⁴

I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 274,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/750² = 274156 N = 274,2 kN

Відповідь

P_cr = 274,2 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 53,29 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 53,29 mm

Відповідь

d = 53,29 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 187,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials