Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 35 kNділянка 1: Ø35 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (сталь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 40 mm і довжину 0,8 m; ділянка BC має діаметр 30 mm і довжину 0,8 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 200 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 200 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 100 kW при 1450 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 4 m35 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

10 kN @ 0 m25 kN @ 12 m15 kN @ 6 m4 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 500 mm і товщиною стінки 8 mm містить газ під надлишковим тиском 2,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 25° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 500 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 5 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 21 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 45 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 45 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1273 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78,54 = 254,6 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/200000 = 0,001273 = 1273 µε

Відповідь

ε = 1273 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 111,4 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 36,38 MPa

σ₂ = 111,4 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 111,4 MPa

Відповідь

σ_max = 111,4 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 1,897 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·800/(80000·251327) = 0,007958 rad

φ_BC = 200000·800/(80000·79522) = 0,02515 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,007958 + 0,02515 = 0,03311 rad = 1,897°

Відповідь

φ_C = 1,897°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 38,9 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 658,6 N·m = 658572 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·658572/(π·75·0,7599)) = 38,9 mm

d_i = 0,7·38,9 = 27,23 mm

Відповідь

d_o = 38,9 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 35,5 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 43,33, M_C = 86,67, M_D = 100, M_E = 113,3 kN·m, M_F = 56,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 113,3 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 10 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 29,75 kN, R₂ = 52,25 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = 11,5, M_D = 27, M_E = −3,5, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

Відповідь

Позначка F: M_F = −50 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 114,9 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

стінка: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·315 + 4800·150)/12000 = 249 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·30³/12 + 7200·(315 − 249)² = 3,19 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·300³/12 + 4800·(150 − 249)² = 8,304 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,19 × 10⁷ + 8,304 × 10⁷ = 1,149 × 10⁸ mm⁴ = 114,9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 114,9 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 30,25 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

стінка: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·305 + 4200·150)/6600 = 206,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·10³/12 + 2400·(305 − 206,4)² = 2,337 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·300³/12 + 4200·(150 − 206,4)² = 4,484 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,337 × 10⁷ + 4,484 × 10⁷ = 6,821 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 206,4 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·206,4/6,821 × 10⁷ = 30,25 MPa

Відповідь

σ_низ = 30,25 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 76,72 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = −60/67,08 = −0,8944, sin 2θ_s = −(−30)/67,08 = 0,4472

2θ_s = atan2(30, −60) = 153,4°

Кут на елементі

θ_s = 76,72°

перевірка: θ_s − θ_p = 76,72 − (−58,28) = 135°

Відповідь

θ_s = 76,72°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 71,15 MPa

Напруження в стінці

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2,5·250/8 = 78,13 MPa

σ_a = pr/(2t) = 39,06 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 39,06·sin²25° + 78,13·cos²25° = 71,15 MPa

Відповідь

σ_n = 71,15 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 15,22 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 5000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 6,088 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006088 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 15,22 mm

Відповідь

δ_B = 15,22 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 2,957 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 21000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·5000³/(48·2,4 × 10¹³) = 2,279 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 0,6782 mm

Додайте

δ_max = 2,279 + 0,6782 = 2,957 mm

Відповідь

δ_max = 2,957 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,242 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3500² = 2242 N = 2,242 kN

Відповідь

P_cr = 2,242 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 70,63 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 70,63 mm

Відповідь

d = 70,63 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 141,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials