Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 55 kNділянка 1: Ø30 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 15 mm закручують моментом 100 N·m. Два кінці розрахункової довжини 400 mm повертаються один відносно одного на 5,76° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 100 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 5,76°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 15 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 15 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 0,5 m від A. Знайдіть згинальний момент M_A у защемленні A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 15 kN у 0,5 mw = 5 kN/m від 0 до 4 m

M_A = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 60 kN у 2,5 mw = 2 kN/m від 0 до 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 84 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmвиріз: 50 × 30 mmцентр отвору: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −10 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 21 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 12 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 49,87 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2,021 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/4,01 × 10⁻⁶ = 49870 N = 49,87 kN

Відповідь

P = 49,87 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,883 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 77,81 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,81·1500/70000 = 1,667 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 486,3·500/200000 = 1,216 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,883 mm

Відповідь

δ = 2,883 mm

3.Кручення валів

Відповідь: G = 80,06 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 5,76·π/180 = 0,1005 rad

Модуль зсуву

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·400/(4970·0,1005) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Відповідь

G = 80,06 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 17,17 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·79577/(π·80)) = 17,17 mm

Відповідь

d = 17,17 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_A = −47,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Залиште частину з вільним кінцем

P: −15·0,5 = −7,5 kN·m

w: −5·4²/2 = −40 kN·m

M_A = −7,5 − 40 = −47,5 kN·m

Відповідь

M_A = −47,5 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 25,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·2,5 + 2·4·2

R_B = 166/4 = 41,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 41,5 = 26,5 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 26,5·1 − 2·1·0,5 = 25,5 kN·m

Відповідь

M_x = 25,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 79,34 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·100 − 1257·120)/(24000 − 1257) = 98,89 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·200³/12 + 24000·1,105² = 80,03 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·21,11² = 0,6854 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 79,34 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 79,34 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 228,3 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 1500·84)/(48000 − 1500) = 121,2 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·−1,161² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·30³/12 + 1500·−37,16² = 2,184 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 228,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 228,3 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 69,7 °

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, −10 − 60) = 139,4°

Кут на елементі

θ_p = 69,7°

Відповідь

θ_p = 69,7°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 147,3 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 85 MPa, R = 69,46 MPa

σ₁ = 154,5 MPa, σ₂ = 15,54 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(154,5² − 154,5·15,54 + 15,54²) = 147,3 MPa

Відповідь

σ_vM = 147,3 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 23,57 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 21000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 21000·1000²·2000²/(3·3,96 × 10¹¹·3000) = 23,57 mm

Відповідь

δ_P = 23,57 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,889 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 12000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·2000³/(48·1,61 × 10¹²) = 1,242 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 0,647 mm

Додайте

δ_max = 1,242 + 0,647 = 1,889 mm

Відповідь

δ_max = 1,889 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,998 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3000² = 3998 N = 3,998 kN

Відповідь

P_cr = 3,998 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 6,94 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Відповідь

σ_cr = 6,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials