Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 50 мм, довжина 300 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 20 kNділянка 1: Ø40 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 5 kW при 3000 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,8 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 5 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 15 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 3,5 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mM₀ = 15 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 3,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 0 m10 kN @ 12 m25 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 220 mm і товщиною 18 mm, повну висоту 280 mm і стінку товщиною 12 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 220 mmH = 280 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = −10 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 160 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 250 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 57,27 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2,183 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/5,238 × 10⁻⁶ = 57269 N = 57,27 kN

Відповідь

P = 57,27 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,955 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 15,92 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,92·1000/117000 = 0,136 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 63,66·2000/70000 = 1,819 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,955 mm

Відповідь

δ = 1,955 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,5986 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(39000·613592) = 0,01045 rad

φ = 0,01045·180/π = 0,5986°

Відповідь

φ = 0,5986°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 13,18 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 15,92 N·m = 15915 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·15915/(π·60·0,5904)) = 13,18 mm

d_i = 0,8·13,18 = 10,54 mm

Відповідь

d_o = 13,18 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 11,05 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 6,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/6 = 2,5 kN (вгору)

R_A = −R_B = −2,5 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −2,5·3,5 + 15 = 6,25 kN·m

Відповідь

M_x = 6,25 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 22,5 kN, R₂ = 22,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = 5, M_D = 30 kN·m, M_E = 5, M_F = −20, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 30 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 150,7 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 280 − 2·18 = 244 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·280³ − 208·244³)/12

I_x = 1,507 × 10⁸ mm⁴ = 150,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 150,7 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 7,267 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

стінка: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·210 + 2800·100)/8400 = 173,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·20³/12 + 5600·(210 − 173,3)² = 7,716 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·200³/12 + 2800·(100 − 173,3)² = 2,439 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,716 × 10⁶ + 2,439 × 10⁷ = 3,211 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 220 − 173,3 = 46,67 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·46,67/3,211 × 10⁷ = 7,267 MPa

Відповідь

σ_верх = 7,267 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 100,5 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 60 MPa, R = √(100² + (−10)²) = 100,5 MPa

σ₁ = 160,5 MPa, σ₂ = −40,5 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(201, 160,5, 40,5)/2 = 100,5 MPa

Відповідь

τ_abs = 100,5 MPa

Тут σ₁ і σ₂ мають протилежні знаки, тож максимум у площині R є й абсолютним максимумом.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 11,18

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 5 MPa, R = 11,18 MPa

σ₁ = 16,18 MPa, σ₂ = −6,18 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 22,36 MPa

n = 250/22,36 = 11,18

Відповідь

n = 11,18

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,01016 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 8·8000³/(24·1,68 × 10¹³) = 0,01016 rad

Відповідь

θ_A = 0,01016 rad

Це 0,5821°.

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·1500⁴/(384·70000·4,167) = 1,13 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,18 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·3000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Відповідь

P_cr = 2,18 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 226,6 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/15 = 93,33

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93,33² = 226,6 MPa

Відповідь

σ_cr = 226,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials