Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 30 mm, внутрішній діаметр 23 mm, довжина 2,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 100 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 100 N·md_o = 30 mmd_i = 23 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) передає 10 kW при 300 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa, а кут закручування — 1° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 8 m5 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 60 kN у 1 mw = 10 kN/m від 0 до 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 140 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 100 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 300 mm і стінку товщиною 14 mm. Він сприймає згинальний момент 30 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 100 mmH = 300 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mmM = 30 kN·m

σ_j = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 120 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 25° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 120 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 135 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 135 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 303,2 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/706,9 = 21,22 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 21,22/70000 = 0,0003032 = 303,2 µε

Відповідь

ε = 303,2 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 304,4 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,0006364) = 0,0006364 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006364·4,783 × 10⁸ = 304377 N = 304,4 kN

Відповідь

P_max = 304,4 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 10,58 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴

Кут закручування

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·2500/(26000·52048) = 0,1847 rad

φ = 0,1847·180/π = 10,58°

Відповідь

φ = 10,58°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 51,7 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

d_τ = ∛(16·318310/(π·60)) = 30,01 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·318310/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 51,7 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(30,01, 51,7) = 51,7 mm

Відповідь

d = 51,7 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 47,5 kN, R₂ = 57,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 85, M_C = 150, M_D = 195, M_E = 220 kN·m, M_F = 115, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 220 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 10·6·3

R_B = 240/6 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 40 = 80 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 80·1 − 10·1·0,5 = 75 kN·m

Відповідь

M_x = 75 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (40000·100 − 706,9·140)/(40000 − 706,9) = 99,28 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·200³/12 + 40000·0,7196² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·40,72² = 1,212 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 55,7 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 300 − 2·12 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·300³ − 86·276³)/12

I_x = 7,432 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

y = 150 − 12 = 138 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·138/7,432 × 10⁷ = 55,7 MPa

Відповідь

σ_j = 55,7 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 75 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((10 − 100)/2)² + −60²) = 75 MPa

Відповідь

τ_max = 75 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 101,6 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 90 + 30·0,6428 + −10·0,766 = 101,6 MPa

Відповідь

σ_θ = 101,6 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 38,35 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 38,35 mm

Відповідь

δ_max = 38,35 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 3,797 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·3000⁴/(384·200000·8,333) = 3,797 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3,797 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 3,797 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,09 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3500² = 3090 N = 3,09 kN

Відповідь

P_cr = 3,09 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 41,87 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 41,87 mm

Відповідь

d = 41,87 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 100,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials