Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 95 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 5 kW при 750 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 5 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 3 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 50 kN у 2 mw = 5 kN/m від 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 50 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 25° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає згинальний момент 200 N·m разом з обертовим моментом 250 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 40 mmM = 200 N·mT = 250 N·m

τ_max = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2,5 m від A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 17 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 10,8 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 95·1000/314,2 = 302,4 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 302,4/70000 = 0,00432 = 4320 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,00432·2500 mm = 10,8 mm

Відповідь

δ = 10,8 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 432 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·7461 = 1,037 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,0004167) = 0,0004167 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0004167·1,037 × 10⁹ = 431969 N = 432 kN

Відповідь

P_max = 432 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,754 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Відповідь

φ = 1,754°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 44,18 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·40)) = 20,09 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 44,18 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(20,09, 44,18) = 44,18 mm

Відповідь

d = 44,18 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 31,5 kN, R₂ = 31,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 27,5, M_C = 47, M_D = 58,5 kN·m, M_E = 47, M_F = 27,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 58,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 60 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·2 + 5·4·2

R_B = 140/4 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 35 = 35 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 35·2 − 5·2·1 = 60 kN·m

Відповідь

M_x = 60 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 12,59 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

стінка: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·165 + 2560·80)/4160 = 112,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·10³/12 + 1600·(165 − 112,7)² = 4,391 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·160³/12 + 2560·(80 − 112,7)² = 8,197 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,391 × 10⁶ + 8,197 × 10⁶ = 1,259 × 10⁷ mm⁴ = 12,59 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 12,59 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 23,71 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

стінка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·190 + 3600·90)/9200 = 150,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·20³/12 + 5600·(190 − 150,9)² = 8,761 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 150,9)² = 2,306 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,761 × 10⁶ + 2,306 × 10⁷ = 3,182 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 150,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·150,9/3,182 × 10⁷ = 23,71 MPa

Відповідь

σ_низ = 23,71 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −16,26 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 5 − 45·0,6428 − (−10)·0,766 = −16,26 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 26,26 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −16,26 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 25,48 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 15,92 MPa

R = √(15,92² + 19,89²) = 25,48 MPa

Відповідь

τ_max = 25,48 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 5,27 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 17000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa³/(3EI) = 17000·2500³/(3·1,68 × 10¹³) = 5,27 mm

Відповідь

δ_P = 5,27 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 342,9 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·8000⁴/(384·70000·22,22) = 3,429 × 10⁸ mm⁴

I_req = 342,9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 342,9 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,373 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/4000² = 3373 N = 3,373 kN

Відповідь

P_cr = 3,373 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 17,77 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/15 = 333,3

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Відповідь

σ_cr = 17,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials