Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
P = ?12600 mm300 mmØ25Ø50δ = 0,3 mm

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 50 мм, довжина 300 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 25 mmМідь2 mØ 20 mmЛатунь1,5 mP = 100 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 100 kNділянка 1: Ø25 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Кручення валівСередня
do​ = ?T = 1000 N·m

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 1000 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,8 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр do.

T = 1000 N·mdi/do = 0,8τallow = 80 MPa
do = mm
4.Кручення валівСкладна
d = 30 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 1,2 mb = 1,5 m

Суцільний вал (латунь) діаметром 30 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1,2 m від A і 1,5 m від B, прикладено обертовий момент 2000 N·m. Знайдіть реактивний момент TA у стіні A.

d = 30 mmT0 = 2000 N·ma = 1,2 mb = 1,5 m
TA = N·m
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
55 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 10 m35 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 4 kN/mP = 35 kNABпереріз1 m2 m7 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 35 kN у 3 mw = 4 kN/m від 0 до 10 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
2202528014xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 220 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
200 mm240 mm168 mm60 × 40xIx​ = ?

Пластина 200 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 168 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmвиріз: 60 × 40 mmцентр отвору: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 30σy​ = −50τxy​ = −10MPa

У точці σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θs у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σx = 30 MPaσy = −50 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 20σy​ = 50τxy​ = 50MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 20 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σx = 20 MPaσy = 50 MPaτxy = 50 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 5 kN/mABθ4 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Прогин балкиСкладна
w = 10 kN/mP = 30 kNδL = 5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 30 kNw = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 m50 × 100 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 25 kNL = 4 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 25 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 25 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 40,62 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1963) = 1,273 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/7,385 × 10⁻⁶ = 40624 N = 40,62 kN

Відповідь

P = 40,62 kN
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 8,257 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 203,7 MPa
σ2 = 318,3 MPa

Додайте видовження ділянок

δ1 = σ1L1/E1 = 203,7·2000/117000 = 3,482 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 318,3·1500/100000 = 4,775 mm
δ = δ1 + δ2 = 8,257 mm

Відповідь

δ = 8,257 mm
3.Кручення валів

Відповідь: do = 47,6 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·80·0,5904)) = 47,6 mm
di = 0,8·47,6 = 38,08 mm

Відповідь

do = 47,6 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 39,93 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: TA = 1111 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·1,5/2,7 = 1111 N·m
TB = 2000·1,2/2,7 = 888,9 N·m

Відповідь

TA = 1111 N·m
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 26,67 kN, R2 = 63,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 53,33, MC = 106,7, MD = 160 kN·m, ME = 143,3, MF = 126,7, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 160 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 42,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·3 + 4·10·5
RB = 305/10 = 30,5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 30,5 = 44,5 kN
w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​ = 44,5RB​ = 30,5переріз1 m2 m7 m

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 44,5·1 − 4·1·0,5 = 42,5 kN·m

Відповідь

Mx = 42,5 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 79,12 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 220·25 = 5500 mm², yf = 280 + 25/2 = 292,5 mm
стінка: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5500·292,5 + 3920·140)/9420 = 229 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·25³/12 + 5500·(292,5 − 229)² = 2,244 × 10⁷ mm⁴
стінка: 14·280³/12 + 3920·(140 − 229)² = 5,669 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,244 × 10⁷ + 5,669 × 10⁷ = 7,912 × 10⁷ mm⁴ = 79,12 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 79,12 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 224,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 2400·168)/(48000 − 2400) = 117,5 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·2,526² = 230,7 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·40³/12 + 2400·50,53² = 6,447 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 224,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 224,3 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θs = −52,02 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCτmax​

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θs = −10/41,23 = −0,2425, sin 2θs = −40/41,23 = −0,9701
2θs = atan2(−40, −10) = −104°

Кут на елементі

θs = −52,02°
перевірка: θs − θp = −52,02 − (−7,018) = −45°

Відповідь

θs = −52,02°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 86,85 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 35 + −15·−0,1736 + 50·0,9848 = 86,85 MPa

Відповідь

σθ = 86,85 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: θA = 0,007843 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Кут повороту на кінці

θA = wL³/(24EI) = 5·4000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,007843 rad

Відповідь

θA = 0,007843 rad

Це 0,4494°.

12.Прогин балки

Відповідь: δmax = 9,494 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 30000 N, w = 10 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 30000·5000³/(48·1,68 × 10¹³) = 4,65 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 4,844 mm

Додайте

δmax = 4,65 + 4,844 = 9,494 mm

Відповідь

δmax = 9,494 mm
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 228,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/3000² = 228463 N = 228,5 kN

Відповідь

Pcr = 228,5 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 69,69 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 69,69 mm

Відповідь

d = 69,69 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 229,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials