Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 40 mm і довжину 1,5 m; ділянка BC має діаметр 25 mm і довжину 0,8 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 250 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 250 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) передає 20 kW при 300 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 6 kN/m від 0 до 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 5,5 mw = 6 kN/m від 0 до 5,5 mопори в x = 0 і x = 4 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 80 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 300 mmвиріз: 80 × 40 mmцентр отвору: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 150 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 355 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = 160 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 4 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 5 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,03512 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·400/9,111 × 10⁸ = 0,03512 mm

Відповідь

δ = 0,03512 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 17,1 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 120000·706,9/200 = 424115 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·424115/1,052 × 10⁶ = 12090 N

Напруження

σ₂ = 12090/706,9 = 17,1 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 17,1 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 14,78 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 250000·1500/(26000·251327) = 0,05739 rad

φ_BC = 250000·800/(26000·38350) = 0,2006 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,05739 + 0,2006 = 0,258 rad = 14,78°

Відповідь

φ_C = 14,78°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 86,95 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·40)) = 43,28 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 86,95 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(43,28, 86,95) = 86,95 mm

Відповідь

d = 86,95 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 18 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 15·3 − 6·3·1,5 = 18 kN·m

Відповідь

M_x = 18 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 8,862 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·5,5 = 33 kN, прикладена в x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·5,5·2,75

R_B = 90,75/4 = 22,69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 22,69 = 10,31 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 10,31/6 = 1,719 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 10,31²/(2·6) = 8,862 kN·m

Відповідь

M_max = 8,862 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 20,5 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

стінка: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·192,5 + 1800·90)/9300 = 172,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·25³/12 + 7500·(192,5 − 172,7)² = 3,342 × 10⁶ mm⁴

стінка: 10·180³/12 + 1800·(90 − 172,7)² = 1,716 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,342 × 10⁶ + 1,716 × 10⁷ = 2,05 × 10⁷ mm⁴ = 20,5 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 20,5 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 437,4 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (60000·150 − 3200·90)/(60000 − 3200) = 153,4 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·300³/12 + 60000·−3,38² = 450,7 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

80·40³/12 + 3200·−63,38² = 13,28 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 437,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 437,4 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 68,01 MPa

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((150 − 20)/2)² + −20²) = 68,01 MPa

Відповідь

τ_max = 68,01 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,199

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 125 MPa, R = 36,4 MPa

σ₁ = 161,4 MPa, σ₂ = 88,6 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 161,4 MPa

n = 355/161,4 = 2,199

Відповідь

n = 2,199

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 44,85 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 4000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 4000·5000³/(3·7,2 × 10¹²) = 23,15 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·5000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 21,7 mm

Додайте

δ = 23,15 + 21,7 = 44,85 mm

Відповідь

δ = 44,85 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 60,72 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 5000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 5000·6000³/(48·1,76 × 10¹²) = 12,78 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 47,94 mm

Додайте

δ_max = 12,78 + 47,94 = 60,72 mm

Відповідь

δ_max = 60,72 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 29,48 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2500² = 29477 N = 29,48 kN

Відповідь

P_cr = 29,48 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 17,48 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/12,5 = 336

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/336² = 17,48 MPa

Відповідь

σ_cr = 17,48 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials