Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 16 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 100 kNділянка 1: Ø35 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 12 mm закручують моментом 40 N·m. Два кінці розрахункової довжини 200 mm повертаються один відносно одного на 8,66° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 40 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 8,66°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 60 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,5 m від A, діє обертовий момент 400 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,5 m далі, діє момент 500 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 60 mmT_B = 400 N·mT_C = 500 N·mAB = 0,5 mBC = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 3 m15 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 6 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 35 kN у 6 mw = 10 kN/m від 0 до 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 50 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший від’ємний згинальний момент M_allow, який може витримати балка (вкажіть його величину).

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 20 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −20 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 0,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 11 kNa = 0,5 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 2 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δ_max балки.

P = 27 kNb = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 4463 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 522,2/117000 = 0,004463 = 4463 µε

Відповідь

ε = 4463 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 497,4 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 103,9 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 497,4 MPa

Відповідь

σ_max = 497,4 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: G = 26 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 8,66·π/180 = 0,1511 rad

Модуль зсуву

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(2036·0,1511) = 26000 MPa

G = 26 GPa

Відповідь

G = 26 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 1,386 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 400 = 100 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,001511 rad

φ_BC = 500000·1500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,02267 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,001511 + 0,02267 = 0,02418 rad → |φ_C| = 1,386°

Відповідь

φ_C = 1,386°

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 27,5 kN, R₂ = 17,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 27,5, M_C = 40, M_D = 52,5 kN·m, M_E = 35, M_F = 17,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 52,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 112,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·6 + 10·8·4

R_B = 530/8 = 66,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 66,25 = 48,75 kN

Розріжте в x = 6 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 48,75·6 − 10·6·3 = 112,5 kN·m

Відповідь

M_x = 112,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 22,4 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

стінка: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·190 + 2520·90)/6520 = 151,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·20³/12 + 4000·(190 − 151,3)² = 6,109 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·180³/12 + 2520·(90 − 151,3)² = 1,629 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,109 × 10⁶ + 1,629 × 10⁷ = 2,24 × 10⁷ mm⁴ = 22,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 22,4 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 47,26 kN·m

Центр ваги

ȳ = (5600·310 + 6000·150)/11600 = 227,2 mm

верхній край: c = 320 − 227,2 = 92,76 mm

Момент інерції перерізу

I = 280·20³/12 + 5600·82,76² + 20·300³/12 + 6000·77,24² = 1,193 × 10⁸ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Від’ємний момент: верх розтягнутий, низ стиснутий.

верхній край: M = 50·1,193 × 10⁸/92,76 = 64,33 kN·m

нижній край: M = 90·1,193 × 10⁸/227,2 = 47,26 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 47,26 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 47,26 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 67,5 °

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = −20/28,28 = −0,7071, sin 2θ_s = −(−20)/28,28 = 0,7071

2θ_s = atan2(20, −20) = 135°

Кут на елементі

θ_s = 67,5°

перевірка: θ_s − θ_p = 67,5 − (−67,5) = 135°

Відповідь

θ_s = 67,5°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 130 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 55 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 123 MPa, σ₂ = −13,01 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(123² − 123·(−13,01) + (−13,01)²) = 130 MPa

Відповідь

σ_vM = 130 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 10,6 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 11000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,731 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002193 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10,6 mm

Відповідь

δ_B = 10,6 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 5,849 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 27000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Максимальний прогин

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 5,849 mm

Відповідь

δ_max = 5,849 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 113,4 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3500² = 113394 N = 113,4 kN

Відповідь

P_cr = 113,4 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 26,99 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Відповідь

σ_cr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials