Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 50 мм, довжина 400 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 15 kNділянка 1: Ø40 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 60 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,8 m від A, діє обертовий момент 1500 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2 m далі, діє момент 500 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 500 N·mAB = 0,8 mBC = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 8 m15 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 55 kN у 2 mw = 3 kN/m від 0 до 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 144 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 30 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −70 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 2 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 105 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 105 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 33,66 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1,698 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/5,942 × 10⁻⁶ = 33660 N = 33,66 kN

Відповідь

P = 33,66 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 132,6 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 132,6 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 132,6 MPa

Відповідь

σ_max = 132,6 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,5836 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(80000·613592) = 0,01019 rad

φ = 0,01019·180/π = 0,5836°

Відповідь

φ = 0,5836°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 0,3464 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 1500 = −1000 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −1 × 10⁶·800/(26000·1,272 × 10⁶) = −0,02418 rad

φ_BC = 500000·2000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,03023 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = −0,02418 + 0,03023 = 0,006046 rad → |φ_C| = 0,3464°

Відповідь

φ_C = 0,3464°

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 60,83 kN, R₂ = 54,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 121,7, M_C = 213,3, M_D = 245 kN·m, M_E = 216,7, M_F = 108,3, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 245 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 32 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2 + 3·4·2

R_B = 134/4 = 33,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 33,5 = 33,5 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 33,5·3 − 55·(3 − 2) − 3·3·1,5 = 32 kN·m

Відповідь

M_x = 32 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 229,5 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 1257·144)/(48000 − 1257) = 119,4 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·0,6452² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·24,65² = 0,8889 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 229,5 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 229,5 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 94,62 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

стінка: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·115 + 1800·50)/10200 = 103,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·30³/12 + 8400·(115 − 103,5)² = 1,735 × 10⁶ mm⁴

стінка: 18·100³/12 + 1800·(50 − 103,5)² = 6,658 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,735 × 10⁶ + 6,658 × 10⁶ = 8,393 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 130 − 103,5 = 26,47 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·26,47/8,393 × 10⁶ = 94,62 MPa

Відповідь

σ_верх = 94,62 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 9,217 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 30/31,62 = 0,9487, sin 2θ_s = −(−10)/31,62 = 0,3162

2θ_s = atan2(10, 30) = 18,43°

Кут на елементі

θ_s = 9,217°

перевірка: θ_s − θ_p = 9,217 − 54,22 = −45°

Відповідь

θ_s = 9,217°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −60 MPa

Формула перетворення

σ_θ = −10 + −60·0 + −50·1 = −60 MPa

Відповідь

σ_θ = −60 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 2,63 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 2,63 mm

Відповідь

δ_max = 2,63 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 143 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·11,67) = 3,045 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·3,045 × 10⁷/125)^1/3 = 143 mm

Відповідь

h_req = 143 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 67,29 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67,29 kN

Відповідь

P_cr = 67,29 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 66,46 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66,46 mm

Відповідь

d = 66,46 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 180,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials