Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 250 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 250 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 50 мм, довжина 300 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 20 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,5 m від A, діє обертовий момент 100 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2,5 m далі, діє момент 250 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 250 N·mAB = 0,5 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 8 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 4 mP = 30 kN у 1,5 mw = 5 kN/m від 0 до 4 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 80 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmвиріз: 60 × 30 mmцентр отвору: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 17 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1025 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·9346 = 1,22 × 10⁹ N

Вкорочення

δ = 250000·500/1,22 × 10⁹ = 0,1025 mm

Відповідь

δ = 0,1025 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 6,832 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 20000·719948/1,073 × 10⁶ = 13415 N

Напруження

σ₂ = 13415/1963 = 6,832 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 6,832 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 22,45 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·15708) = 0,3918 rad

φ = 0,3918·180/π = 22,45°

Відповідь

φ = 22,45°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 10,19 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 100 = 150 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Відповідь

τ_max = 10,19 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 68,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 136,7, M_C = 153,3, M_D = 170, M_E = 186,7 kN·m, M_F = 93,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 186,7 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 37,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1,5 + 5·4·2

R_B = 85/4 = 21,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 21,25 = 28,75 kN

Де V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 21,25 kN

V(1,5⁺) = 21,25 − 30 = −8,75 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 28,75·1,5 − 5·1,5²/2 = 37,5 kN·m

Відповідь

M_max = 37,5 kN·m

Це в точці x = 1,5 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (40000·100 − 1963·80)/(40000 − 1963) = 101 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,032² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−21,03² = 1,175 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 63,37 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 1800·60)/(20000 − 1800) = 104 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·−3,956² = 66,98 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·30³/12 + 1800·−43,96² = 3,613 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 63,37 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 63,37 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 88,46 MPa

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((120 − −10)/2)² + −60²) = 88,46 MPa

Відповідь

τ_max = 88,46 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 132,3 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 55 MPa, R = 69,46 MPa

σ₁ = 124,5 MPa, σ₂ = −14,46 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(124,5² − 124,5·(−14,46) + (−14,46)²) = 132,3 MPa

Відповідь

σ_vM = 132,3 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 8,092 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 17000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 17000·1500³/(3·2,52 × 10¹²) = 7,589 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 0,5022 mm

Додайте

δ = 7,589 + 0,5022 = 8,092 mm

Відповідь

δ = 8,092 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 15 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·4000⁴/(384·200000·11,11) = 1,5 × 10⁷ mm⁴

I_req = 15 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 15 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 19,28 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·4000 = 8000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/8000² = 19277 N = 19,28 kN

Відповідь

P_cr = 19,28 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 4,371 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/6,25 = 672

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/672² = 4,371 MPa

Відповідь

σ_cr = 4,371 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials