Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 600 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 300 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 300 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 50 мм, довжина 400 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 80 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 25 mm і довжину 1,2 m; ділянка BC має діаметр 20 mm і довжину 2 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 250 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

T = 250 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 20 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 30 mm закріплений в A. У B, на відстані 2,5 m від A, діє обертовий момент 2000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,5 m далі, діє момент 1000 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 30 mmT_B = 2000 N·mT_C = 1000 N·mAB = 2,5 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 30 kN у 3 mw = 6 kN/m від 0 до 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 300 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 300 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = 10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,2262 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·9346 = 7,956 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 300000·600/7,956 × 10⁸ = 0,2262 mm

Відповідь

δ = 0,2262 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 24,45 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 80000·490874/818123 = 48000 N

Напруження

σ₂ = 48000/1963 = 24,45 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 24,45 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 159,2 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Напруження на кожній ділянці

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Відповідь

τ_max = 159,2 MPa

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 188,6 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 2000 = −1000 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188,6 MPa

Відповідь

τ_max = 188,6 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 75,5 kN, R₂ = 75,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 135, M_C = 238, M_D = 309 kN·m, M_E = 238, M_F = 135, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 309 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 42,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3 + 6·5·2,5

R_B = 165/5 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 33 = 27 kN

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 27·3,5 − 30·(3,5 − 3) − 6·3,5·1,75 = 42,75 kN·m

Відповідь

M_x = 42,75 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 336,2 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (45000·150 − 1257·120)/(45000 − 1257) = 150,9 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·300³/12 + 45000·−0,8618² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−30,86² = 1,323 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 336,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 336,2 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 32,5 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

стінка: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·192,5 + 2880·90)/6880 = 149,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·25³/12 + 4000·(192,5 − 149,6)² = 7,572 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·180³/12 + 2880·(90 − 149,6)² = 1,8 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,572 × 10⁶ + 1,8 × 10⁷ = 2,558 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 205 − 149,6 = 55,41 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·55,41/2,558 × 10⁷ = 32,5 MPa

Відповідь

σ_верх = 32,5 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 84,35 °

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = −50/50,99 = −0,9806, sin 2θ_s = −(−10)/50,99 = 0,1961

2θ_s = atan2(10, −50) = 168,7°

Кут на елементі

θ_s = 84,35°

перевірка: θ_s − θ_p = 84,35 − (−50,65) = 135°

Відповідь

θ_s = 84,35°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,822

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = −25 MPa, R = 53,15 MPa

σ₁ = 28,15 MPa, σ₂ = −78,15 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 106,3 MPa

n = 300/106,3 = 2,822

Відповідь

n = 2,822

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,04286 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 4·6000³/(24·8,4 × 10¹¹) = 0,04286 rad

Відповідь

θ_A = 0,04286 rad

Це 2,456°.

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,151 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 128,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1000 = 1000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1000² = 128510 N = 128,5 kN

Відповідь

P_cr = 128,5 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 126,3 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Відповідь

σ_cr = 126,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials