Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,5 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 15 mm закручують моментом 50 N·m. Два кінці розрахункової довжини 200 mm повертаються один відносно одного на 2,96° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 50 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 2,96°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 3 m від A, діє обертовий момент 1000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2,5 m далі, діє момент 1000 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 1000 N·mAB = 3 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 4 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 40 kN у 3 mw = 4 kN/m від 0 до 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 170 mm і товщиною 16 mm, повну висоту 220 mm і стінку товщиною 10 mm. Він сприймає згинальний момент 40 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 170 mmH = 220 mmt_f = 16 mmt_w = 10 mmM = 40 kN·m

σ_j = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 20 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 80 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 30° за годинниковою стрілкою від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 140,8 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706,9) = 2,358 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,5/3,552 × 10⁻⁶ = 140785 N = 140,8 kN

Відповідь

P = 140,8 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 450 kN

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5027 = 4,5 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,001429) = 0,001 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,001·4,5 × 10⁸ = 450033 N = 450 kN

Відповідь

P_max = 450 kN

3.Кручення валів

Відповідь: G = 38,95 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,96·π/180 = 0,05166 rad

Модуль зсуву

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·200/(4970·0,05166) = 38946 MPa

G = 38,95 GPa

Відповідь

G = 38,95 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 81,49 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 1000 = 2000 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 2000 N·m

τ_max = 16·2 × 10⁶/(π·50³) = 81,49 MPa

Відповідь

τ_max = 81,49 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 31,67 kN, R₂ = 48,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 29,17, M_C = 53,33, M_D = 72,5, M_E = 86,67 kN·m, M_F = 45,83, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 86,67 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 22,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 4·4·2

R_B = 152/4 = 38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 38 = 18 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 18·1,5 − 4·1,5·0,75 = 22,5 kN·m

Відповідь

M_x = 22,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 17,44 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

стінка: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·172,5 + 2560·80)/5560 = 129,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 120·25³/12 + 3000·(172,5 − 129,9)² = 5,598 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·160³/12 + 2560·(80 − 129,9)² = 1,184 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,598 × 10⁶ + 1,184 × 10⁷ = 1,744 × 10⁷ mm⁴ = 17,44 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 17,44 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 60,4 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 220 − 2·16 = 188 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·220³ − 160·188³)/12

I_x = 6,225 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

y = 110 − 16 = 94 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·94/6,225 × 10⁷ = 60,4 MPa

Відповідь

σ_j = 60,4 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 30 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((20 − 20)/2)² + 30²) = 30 MPa

Відповідь

τ_max = 30 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 21,34 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−10·−0,866 + 60·0,5 = 21,34 MPa

Відповідь

τ_θ = 21,34 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 1,017 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 1,017 mm

Відповідь

δ = 1,017 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·1500⁴/(384·70000·4,167) = 1,13 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 17,55 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/6000² = 17546 N = 17,55 kN

Відповідь

P_cr = 17,55 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 100,7 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Відповідь

σ_cr = 100,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials