Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 600 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 250 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 250 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 60 мм, довжина 300 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (латунь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 25 mm і довжину 1 m; ділянка BC має діаметр 20 mm і довжину 0,8 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 200 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 200 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 1 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 75 kW при 1500 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa, а кут закручування — 0,75° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 2 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 6 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 10 kN у 6 mw = 3 kN/m від 0 до 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 200 mmвиріз: 30 × 30 mmцентр отвору: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 70 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 125 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 1 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,211 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5890 = 7,108 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 250000·600/7,108 × 10⁸ = 0,211 mm

Відповідь

δ = 0,211 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 16,13 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 110000·2827/300 = 1,037 × 10⁶ N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 60000·1,037 × 10⁶/1,364 × 10⁶ = 45605 N

Напруження

σ₂ = 45605/2827 = 16,13 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 16,13 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 22,63 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 200000·1000/(39000·38350) = 0,1337 rad

φ_BC = 200000·800/(39000·15708) = 0,2612 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,1337 + 0,2612 = 0,3949 rad = 22,63°

Відповідь

φ_C = 22,63°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 55,56 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 55,56 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(31,89, 55,56) = 55,56 mm

Відповідь

d = 55,56 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 70 kN, R₂ = 50 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 65, M_C = 120 kN·m, M_D = 105, M_E = 80, M_F = 45, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 120 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 33 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·6 + 3·8·4

R_B = 156/8 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 19,5 = 14,5 kN

Розріжте в x = 6 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 14,5·6 − 3·6·3 = 33 kN·m

Відповідь

M_x = 33 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 8,784 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

стінка: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·147,5 + 1400·70)/5900 = 129,1 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·15³/12 + 4500·(147,5 − 129,1)² = 1,606 × 10⁶ mm⁴

стінка: 10·140³/12 + 1400·(70 − 129,1)² = 7,178 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,606 × 10⁶ + 7,178 × 10⁶ = 8,784 × 10⁶ mm⁴ = 8,784 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 8,784 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 78,44 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·100 − 900·60)/(24000 − 900) = 101,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·200³/12 + 24000·−1,558² = 80,06 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·30³/12 + 900·−41,56² = 1,622 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 78,44 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 78,44 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 79,1 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = −50/53,85 = −0,9285, sin 2θ_s = −(−20)/53,85 = 0,3714

2θ_s = atan2(20, −50) = 158,2°

Кут на елементі

θ_s = 79,1°

перевірка: θ_s − θ_p = 79,1 − (−55,9) = 135°

Відповідь

θ_s = 79,1°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −27,59 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 15 + −95·−0,1736 + −60·0,9848 = −27,59 MPa

Відповідь

σ_θ = −27,59 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 46,24 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 46,24 mm

Відповідь

δ_max = 46,24 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 206,7 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·6000⁴/(384·11000·16,67) = 9,205 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·9,205 × 10⁷/125)^1/3 = 206,7 mm

Відповідь

h_req = 206,7 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 25,63 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25,63 kN

Відповідь

P_cr = 25,63 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 1,079 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/12,5 = 800

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa

Відповідь

σ_cr = 1,079 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials