Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 110 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 10 kNділянка 1: Ø40 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 60 mm і довжину 1,2 m; ділянка BC має діаметр 40 mm і довжину 0,5 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 1000 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 1000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 5 kW при 1000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 5 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 2 m50 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 7,5 mw = 10 kN/m від 0 до 7,5 mопори в x = 0 і x = 6 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 110 mm і товщиною 18 mm, повну висоту 360 mm і стінку товщиною 6 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 110 mmH = 360 mmt_f = 18 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 160 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 40° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 160 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = −60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 14 kNw = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 75 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 75 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 10,5 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 110·1000/314,2 = 350,1 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 350,1/100000 = 0,003501 = 3501 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,003501·3000 mm = 10,5 mm

Відповідь

δ = 10,5 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,7726 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7,958·2000/117000 = 0,136 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31,83·2000/100000 = 0,6366 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,7726 mm

Відповідь

δ = 0,7726 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 6,462 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·1200/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,03627 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·500/(26000·251327) = 0,07652 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,03627 + 0,07652 = 0,1128 rad = 6,462°

Відповідь

φ_C = 6,462°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 14,49 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·80)) = 14,49 mm

Відповідь

d = 14,49 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 61,67 kN, R₂ = 18,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 61,67, M_C = 73,33 kN·m, M_D = 55, M_E = 36,67, M_F = 18,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 73,33 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 39,55 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·7,5 = 75 kN, прикладена в x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·7,5·3,75

R_B = 281,3/6 = 46,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 46,88 = 28,13 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 28,13/10 = 2,813 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 28,13²/(2·10) = 39,55 kN·m

Відповідь

M_max = 39,55 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 132,9 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 360 − 2·18 = 324 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·360³ − 104·324³)/12

I_x = 1,329 × 10⁸ mm⁴ = 132,9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 132,9 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 162,1 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

стінка: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·267,5 + 3640·130)/5440 = 175,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 120·15³/12 + 1800·(267,5 − 175,5)² = 1,527 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·260³/12 + 3640·(130 − 175,5)² = 2,804 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,527 × 10⁷ + 2,804 × 10⁷ = 4,331 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 175,5 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·175,5/4,331 × 10⁷ = 162,1 MPa

Відповідь

σ_низ = 162,1 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 150,6 MPa

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 110 − 50·0,1736 − (−50)·0,9848 = 150,6 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 69,44 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 220 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 150,6 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 101 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = −45 MPa, R = 52,2 MPa

σ₁ = 7,202 MPa, σ₂ = −97,2 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(7,202² − 7,202·(−97,2) + (−97,2)²) = 101 MPa

Відповідь

σ_vM = 101 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 38,1 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 38,1 mm

Відповідь

δ_max = 38,1 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 22,81 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 14000 N, w = 12 N/mm, L = 5000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 14000·5000³/(48·5,88 × 10¹²) = 6,2 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 16,61 mm

Додайте

δ_max = 6,2 + 16,61 = 22,81 mm

Відповідь

δ_max = 22,81 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 57,57 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1250² = 57573 N = 57,57 kN

Відповідь

P_cr = 57,57 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 101,5 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·75000 = 225000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 101,5 mm

Відповідь

d = 101,5 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 157,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials