Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 65 kNділянка 1: Ø35 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (сталь; зовнішній діаметр 30 mm, внутрішній діаметр 21 mm, довжина 1,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 750 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 750 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 75 kW при 1500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 75 kWN = 1500 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 2 kN/m від 0 до 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mP = 45 kN у 7 mw = 5 kN/m від 0 до 10 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 84 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 50 MPa на розтяг і 150 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає згинальний момент 1500 N·m разом з обертовим моментом 250 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 40 mmM = 1500 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 3 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 8 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 100 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 2,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 25 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 25 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1203 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/100000 = 0,001203 = 1203 µε

Відповідь

ε = 1203 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 574,7 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 67,56 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 574,7 MPa

Відповідь

σ_max = 574,7 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 13,33 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Кут закручування

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1500/(80000·60428) = 0,2327 rad

φ = 0,2327·180/π = 13,33°

Відповідь

φ = 13,33°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 4,119 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Полярний момент інерції

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·50/5,796 × 10⁶ = 4,119 MPa

Відповідь

τ_max = 4,119 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 3 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 4·3 − 2·3·1,5 = 3 kN·m

Відповідь

M_x = 3 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 147 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·7 + 5·10·5

R_B = 565/10 = 56,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 56,5 = 38,5 kN

Де V = 0?

V(7⁻) = R_A − w·7 = 3,5 kN

V(7⁺) = 3,5 − 45 = −41,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·7 − w·7²/2 = 38,5·7 − 5·7²/2 = 147 kN·m

Відповідь

M_max = 147 kN·m

Це в точці x = 7 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·120 − 706,9·84)/(24000 − 706,9) = 121,1 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·240³/12 + 24000·−1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 114,2 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 6,97 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (2400·247,5 + 1920·120)/4320 = 190,8 mm

верхній край: c = 255 − 190,8 = 64,17 mm

Момент інерції перерізу

I = 160·15³/12 + 2400·56,67² + 8·240³/12 + 1920·70,83² = 2,66 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 150·2,66 × 10⁷/64,17 = 62,18 kN·m

нижній край: M = 50·2,66 × 10⁷/190,8 = 6,97 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 6,97 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 6,97 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −35,78 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 100 − 80) = −71,57°

Кут на елементі

θ_p = −35,78°

Відповідь

θ_p = −35,78°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 240,4 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·40³) = 238,7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 119,4 MPa

R = √(119,4² + 19,89²) = 121 MPa

σ₁ = C + R = 240,4 MPa

σ₂ = C − R = −1,647 MPa

Відповідь

σ₁ = 240,4 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 7,143 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 8000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 8000·3000²·1000²/(3·8,4 × 10¹¹·4000) = 7,143 mm

Відповідь

δ_P = 7,143 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 226,7 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4500⁴/(384·11000·12,5) = 9,708 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·9,708 × 10⁷/100)^1/3 = 226,7 mm

Відповідь

h_req = 226,7 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,412 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN

Відповідь

P_cr = 2,412 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 55,1 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 55,1 mm

Відповідь

d = 55,1 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 181,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials