Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 30 mmАлюміній3 mP = 105 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 30 mmЛатунь0,5 mØ 12 mmЛатунь1,5 mP = 80 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 80 kNділянка 1: Ø30 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Кручення валівСередня
T = 750 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 100 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 100 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
5 kN/m55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 12 kN/mP = 25 kNABпереріз3,5 m1,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 25 kN у 3,5 mw = 12 kN/m від 0 до 5 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
xD = 230d = 214розміри в mm

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 230 mm і внутрішній діаметр d = 214 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 230 mmd = 214 mm
r = mm
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
200 mm150 mm52,5 mm60 × 30xIx​ = ?

Пластина 200 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 52,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmвиріз: 60 × 30 mmцентр отвору: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 110σy​ = 60τxy​ = 20MPa

У точці σₓ = 110 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 45° за годинниковою стрілкою. Знайдіть нормальне напруження σy′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σx = 110 MPaσy = 60 MPaτxy = 20 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​τxy​верхня поверхня вала

Суцільний вал діаметром 60 mm сприймає згинальний момент 1500 N·m разом з обертовим моментом 2000 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τmax.

d = 60 mmM = 1500 N·mT = 2000 N·m
τmax = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 15 kN/mδL = 1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 3 kN/mABδ4,5 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 150 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 150 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 2 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 1,5 md = 25 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 2122 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 105·1000/706,9 = 148,5 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 148,5/70000 = 0,002122 = 2122 µε

Відповідь

ε = 2122 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 707,4 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 113,2 MPa
σ2 = 707,4 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 707,4 MPa

Відповідь

σmax = 707,4 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 6,576 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(26000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Відповідь

φ = 6,576°
4.Кручення валів

Відповідь: d = 37,81 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·530516/(π·50)) = 37,81 mm

Відповідь

d = 37,81 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 57,5 kN, R2 = 57,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 105, MC = 190, MD = 255 kN·m, ME = 190, MF = 105, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 255 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 57,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3,5 + 12·5·2,5
RB = 237,5/5 = 47,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 47,5 = 37,5 kN
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​ = 37,5RB​ = 47,5переріз3,5 m1,5 m

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 37,5·3,5 − 12·3,5·1,75 = 57,75 kN·m

Відповідь

Mx = 57,75 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 78,54 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = Ic + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 5579 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,442 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(3,442 × 10⁷/5579) = 78,54 mm

Відповідь

r = 78,54 mm
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 55,15 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 1800·52,5)/(30000 − 1800) = 76,44 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,436² = 56,31 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·30³/12 + 1800·−23,94² = 1,166 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 55,15 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 55,15 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σy′ = 105 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σy′ = 85 − 25·0 − 20·(−1) = 105 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σx′ = 65 MPa, σx′ + σy′ = 170 = σx + σy

Відповідь

σy′ = 105 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τmax = 58,95 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·60³) = 70,74 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47,16 MPa
στxyCτmax​

Коло Мора

C = σ/2 = 35,37 MPa
R = √(35,37² + 47,16²) = 58,95 MPa

Відповідь

τmax = 58,95 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 2,497 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 2,497 mm

Відповідь

δmax = 2,497 mm
12.Прогин балки

Відповідь: hreq = 210,4 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,165 × 10⁸ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,165 × 10⁸/150)1/3 = 210,4 mm

Відповідь

hreq = 210,4 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 108,1 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108,1 kN

Відповідь

Pcr = 108,1 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 8,567 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/6,25 = 480

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Відповідь

σcr = 8,567 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials