Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,5 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 20 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 50 мм, довжина 500 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) передає 50 kW при 500 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa, а кут закручування — 1° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 4 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

30 kN @ 12 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 30 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 24 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1,5 m від опори B. Знайдіть прогин δ_mid посередині прольоту.

P = 2 kNb = 1,5 mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 68,89 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3,183 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,5/7,257 × 10⁻⁶ = 68895 N = 68,89 kN

Відповідь

P = 68,89 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 14,75 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·274889/379609 = 28966 N

Напруження

σ₂ = 28966/1963 = 14,75 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 14,75 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 6,896 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(26000·38350) = 0,1204 rad

φ = 0,1204·180/π = 6,896°

Відповідь

φ = 6,896°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 68,04 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 68,04 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(49,54, 68,04) = 68,04 mm

Відповідь

d = 68,04 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 36,67 kN, R₂ = 13,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 73,33, M_C = 106,7 kN·m, M_D = 80, M_E = 53,33, M_F = 26,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 106,7 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 12 kN, R₂ = 63 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 24, M_C = 48, M_D = 72 kN·m, M_E = 6, M_F = −60, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 72 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 103,4 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

стінка: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·292,5 + 5040·140)/12540 = 231,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·25³/12 + 7500·(292,5 − 231,2)² = 2,857 × 10⁷ mm⁴

стінка: 18·280³/12 + 5040·(140 − 231,2)² = 7,486 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,857 × 10⁷ + 7,486 × 10⁷ = 1,034 × 10⁸ mm⁴ = 103,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 103,4 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 3,126 kN·m

Центр ваги

ȳ = (3200·150 + 2240·70)/5440 = 117,1 mm

верхній край: c = 160 − 117,1 = 42,94 mm

Момент інерції перерізу

I = 160·20³/12 + 3200·32,94² + 16·140³/12 + 2240·47,06² = 1,22 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 90·1,22 × 10⁷/42,94 = 25,57 kN·m

нижній край: M = 30·1,22 × 10⁷/117,1 = 3,126 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 3,126 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 3,126 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 67,03 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 95 MPa, R = √((−25)² + 30²) = 39,05 MPa

σ₁ = 134,1 MPa, σ₂ = 55,95 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(78,1, 134,1, 55,95)/2 = 67,03 MPa

Відповідь

τ_abs = 67,03 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −1,233 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−10·0,6428 + −10·0,766 = −1,233 MPa

Відповідь

τ_θ = −1,233 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 8,081 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 24000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·2000²·1000²/(3·1,32 × 10¹²·3000) = 8,081 mm

Відповідь

δ_P = 8,081 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_mid = 4,539 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 2000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин посередині прольоту

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 2000·1500·(3·8000² − 4·1500²)/(48·2,52 × 10¹²) = 4,539 mm

Відповідь

δ_mid = 4,539 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 48,96 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1050² = 48956 N = 48,96 kN

Відповідь

P_cr = 48,96 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 17,27 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Відповідь

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials