Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Формулу трапецій застосовують до ∫12 1/x dx. Похибка не перевищує (b − a)³·M/(12n²), де M = max|f″| на [1, 2]. Знайдіть найменшу кількість смуг n, що гарантує похибку нижче за 0,0001.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,0001
n =
2.Чисельні методиСкладна
Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,5 для y′ = y(2 − y), y(0) = 1, щоб оцінити y5 ≈ y(2,5).
y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,5
y5 =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів розбігається. Клікніть його.
A: Σ (1 + 1/k)ᵏB: Σ 3ᵏ/k!C: Σ 2/k³D: Σ (3/5)ᵏ
1A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
2B: Σ 3ᵏ/k!
3C: Σ 2/k³
4D: Σ (3/5)ᵏ
4.Послідовності та рядиСкладна
Знайдіть коефіцієнт c₂ при (x + 1)² у ряді Тейлора функції f(x) = e2x у точці a = −1.
f(x) = e2xa = −1k = 2
c₂ =
5.Матриці та визначникиСередня
Нехай C = AB для поданих матриць. Знайдіть елемент c11 (рядок 1, стовпець 1).
A = [−5 −5; −5 −6]B = [4 −5; 1 −5]
c11 =
6.Матриці та визначникиСкладна
Знайдіть більше власне значення λ поданої матриці A.
A = [2 1; 3 4]
λ =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Розв’яжіть y″ + 8y′ + 16y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = 0. Знайдіть y(1,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Розв’яжіть задачу Коші y′ + y/x = 5 при x > 0, y(1) = −3. Знайдіть y(2).
y′ + y/x = 5y(1) = −3
y(2) =
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: n = 41
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Оцінка другої похідної
M = 2/1³ = 2
Виразіть n
n² > 1·2/(12·0,0001) = 1667
n > 40,82 → n = 41
Відповідь
n = 41
2.Чисельні методи
Відповідь: y5 = 2
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Ейлера
y₁ = 1 + 0,5·(1) = 1,5
y₂ = 1,5 + 0,5·(0,75) = 1,875
y₃ = 1,875 + 0,5·(0,234375) = 1,992188
y₄ = 1,992188 + 0,5·(0,015564) = 1,999969
y₅ = 1,999969 + 0,5·(0,0000610342) = 2
Графік
y5 = 2
Відповідь
y5 = 2
Точне значення дорівнює y(2,5) = 1,986614.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Члени прямують до e, а не до 0: розбігається за необхідною умовою збіжності.
B: Σ 3ᵏ/k! → Ознака Даламбера: L = lim 3/(k + 1) = 0 < 1, збігається.
C: Σ 2/k³ → p-ряд з p = 3 > 1: збігається.
D: Σ (3/5)ᵏ → Геометричний з r = 3/5, |r| < 1: збігається.
Відповідь
A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
Відповідь
A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
4.Послідовності та ряди
Відповідь: c₂ = 0,2707
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Похідна f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = 2²·e2x
Коефіцієнт
c₂ = 2²·e−2/2! = 0,2707
c₂ = 0,2707
Відповідь
c₂ = 0,2707
5.Матриці та визначники
Відповідь: c11 = −25
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Рядок на стовпець
c11 = (−5)·4 + (−5)·1 = −25
Відповідь
c11 = −25
6.Матриці та визначники
Відповідь: λ = 5
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Характеристичне рівняння
λ² − (6)λ + (5) = 0
Розв’яжіть
λ = (6 ± √(16))/2 → λ = 1, 5
λ = 5
Відповідь
λ = 5
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(1.5) = 0,08676
Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.
Подвійний корінь
(r + 4)² = 0 → r = −4
Сталі
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 4A → B = 0 + 20 = 20
Обчисліть
y(1,5) = (5 + 20·1,5)·e−6 = 0,08676
Відповідь
y(1,5) = 0,08676
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: y(2) = 2,25
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.