Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Послідовності та ряди
Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Метод
Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Матриці та визначники
визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)
Диференціальні рівняння
Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Задачі для практики
1.Чисельні методиСередня
Наближено обчисліть ∫01 eˣ dx за формулою Сімпсона, n = 2, і порівняйте з точним значенням. Знайдіть абсолютну похибку |E| = |S − I|.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
2.Чисельні методиСкладна
Скористайтеся методом Хойна (вдосконаленим методом Ейлера) з h = 0,25 для y′ = t − y, y(0) = −1, щоб оцінити y2 ≈ y(0,5).
y′ = t − yy(0) = −1h = 0,25
y2 =
3.Послідовності та рядиСередня
Рівно один із чотирьох рядів розбігається. Клікніть його.
A: Σ (7/4)ᵏB: Σ (−1)ᵏ/√kC: Σ k³/5ᵏD: Σ (1/2)ᵏ
1A: Σ (7/4)ᵏ
2B: Σ (−1)ᵏ/√k
3C: Σ k³/5ᵏ
4D: Σ (1/2)ᵏ
4.Послідовності та рядиСкладна
Функцію f(x) = eˣ наближено в точці x = 0,5 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 2 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 1 × 10⁻⁵.
f(x) = eˣx = 0,5M = 2ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Матриці та визначникиСередня
Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.
A = [2 4 −5; 2 3 2; −5 1 4]
det A =
6.Матриці та визначникиСкладна
Розв'яжіть систему −3x + 4y = 0 і 3x − 5y = −1. Знайдіть x.
−3x + 4y = 03x − 5y = −1
x =
7.Диференціальні рівнянняСередня
Кувану сталеву деталь температурою 440 °C залишили остигати в цеху з температурою 28 °C. Через 45 min її температура становить 96 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 69 °C?
T0 = 440 °CTa = 28 °CT(45) = 96 °CT = 69 °C
t = min
8.Диференціальні рівнянняСкладна
Бак містить 100 L чистої води. Розсіл із 0,1 kg солі на літр надходить зі швидкістю 10 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 8 kg солі?
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min
t = min
3Розчини
1.Чисельні методи
Відповідь: |E| = 0,0005793
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Точне значення
I = 1,718282
Формула Сімпсона
S = (0,5/3)·(1 + 4·1,648721 + 2,718282) = 1,718861
Похибка
|E| = |1,718861 − 1,718282| = 0,0005793
Відповідь
|E| = 0,0005793
Відносна похибка: 0,03372 %.
2.Чисельні методи
Відповідь: y2 = −0,5
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Кроки Хойна
y₁ = −1 + (0,25/2)(1 + 1) = −0,75
y₂ = −0,75 + (0,25/2)(1 + 1) = −0,5
Графік
y2 = −0,5
Відповідь
y2 = −0,5
Точне значення дорівнює y(0,5) = −0,5.
3.Послідовності та ряди
Відповідь: A: Σ (7/4)ᵏ
Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.
Перевірте кожен ряд
A: Σ (7/4)ᵏ → Геометричний з r = 7/4 > 1: члени зростають, тож ряд розбігається.
B: Σ (−1)ᵏ/√k → Знакозмінний, із 1/√k, що спадає до 0: збігається (умовно).
C: Σ k³/5ᵏ → Ознака Даламбера: L = 1/5 < 1, збігається.
D: Σ (1/2)ᵏ → Геометричний з r = 1/2, |r| < 1: збігається.
Відповідь
A: Σ (7/4)ᵏ
Відповідь
A: Σ (7/4)ᵏ
4.Послідовності та ряди
Відповідь: n = 6
Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.
Оцінки для зростаючого n
n = 5: 4,34 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 6: 3,1 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Найменший степінь
n = 6
Відповідь
n = 6
5.Матриці та визначники
Відповідь: det A = −137
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Мінори 2×2 першого рядка
M₁₁ = 10, M₁₂ = 18, M₁₃ = 17
Розклад за рядком
det A = 2·10 − 4·18 + (−5)·17 = −137
Відповідь
det A = −137
6.Матриці та визначники
Відповідь: x = 1,333
Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.
Визначник матриці коефіцієнтів
det A = (−3)·(−5) − 4·3 = 3
Замініть стовпець x
det Aₓ = 0·(−5) − 4·(−1) = 4
x = 4/3 = 1,333
Відповідь
x = 1,333
y = 1
7.Диференціальні рівняння
Відповідь: t = 57,64 min
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Стала охолодження
k = ln(412/68)/45 = 0,04003 min⁻¹
Час до досягнення цільової температури
t = ln(412/41)/0,04003 = 57,64 min
Відповідь
t = 57,64 min
8.Диференціальні рівняння
Відповідь: t = 16,09 min
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.