Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.
Двигуни постійного струму
Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc
Метод
Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
2Задачі для практики
1.DC-DC перетворювачіСередня
Знижувальний перетворювач перетворює 24 V на 16,8 V для навантаження 2,5 Ω. Він комутується на частоті 100 kHz при L = 150 µH. Знайдіть піковий струм котушки Imax.
Знижувальний перетворювач перетворює 48 V на 33,6 V на частоті 20 kHz при L = 100 µH. Знайдіть найменший струм навантаження Io,min, за якого він залишається в режимі безперервних струмів.
Vin = 48 VVo = 33,6 Vf = 20 kHzL = 100 µH
Io,min = A
3.Двигуни постійного струмуСередня
Двигун постійного струму споживає 4 A від джерела 240 V. Його опір якоря — 2 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 74 W. Знайдіть його ККД η.
V = 240 VIa = 4 ARa = 2 ΩProt = 74 W
η = %
4.Двигуни постійного струмуСкладна
Двигун постійного струму (k = 0,3 V·s/rad, Ra = 1 Ω) на сталій напрузі 110 V приводить навантаження 3 N·m. Знайдіть послідовний опір Rs, який зменшує його швидкість до 750 rpm.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
До однофазної мережі 400 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 18 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і нагрівач потужністю 14 kW (коефіцієнт потужності 1). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 25 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 400 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 100 µF. Знайдіть новий струм лінії I.
P = 25 kWpf1 = 0,6V = 400 Vf = 50 HzC = 100 µF
I = A
7.Трифазні системиСередня
Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 20 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,7, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.
VL = 400 VIL = 20 Acos φ = 0,7
P = kW
8.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.
P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Розчини
1.DC-DC перетворювачі
Відповідь: Imax = 6,888 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 16,8/24 = 0,7
Середній струм і пульсації струму
Io = 16,8/2,5 = 6,72 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 7,2·0,7/(150·10⁻⁶·100·10³) = 0,336 A
Піковий струм
Imax = 6,72 + 0,336/2 = 6,888 A
Відповідь
Imax = 6,888 A
2.DC-DC перетворювачі
Відповідь: Io,min = 2,52 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 33,6/48 = 0,7
Струм пульсацій
ΔIL = 33,6·0,3/(100·10⁻⁶·20·10³) = 5,04 A
Струм навантаження на межі
Io,min = ΔIL/2 = 2,52 A
Відповідь
Io,min = 2,52 A
Нижче від цього струму перетворювач переходить у режим перервних струмів, і Vo піднімається вище за D·Vin.
3.Двигуни постійного струму
Відповідь: η = 88,96 %
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Потужності
Pin = 240·4 = 960 W
Pdev = 232·4 = 928 W
Pout = 928 − 74 = 854 W
ККД
η = 854/960·100 = 88,96 %
Відповідь
η = 88,96 %
4.Двигуни постійного струму
Відповідь: Rs = 7,644 Ω
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Струм і зворотна ЕРС
Ia = 3/0,3 = 10 A
E = 0,3·78,54 = 23,56 V
Послідовний опір
Ra + Rs = (110 − 23,56)/10 = 8,644 Ω
Rs = 7,644 Ω
Відповідь
Rs = 7,644 Ω
Резистор розсіює 764,4 W; чопер керує швидкістю з набагато меншими втратами.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: I = 92,24 A
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність кожного навантаження
Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).
Q1 = 18·tan(arccos 0,7) = 18,36 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Сумарні значення
P = 18 + 14 = 32 kW
Q = 18,36 + 0 = 18,36 kvar
S = √(32² + 18,36²) = 36,89 kVA
Загальний струм
I = S/V = 36895/400 = 92,24 A
Відповідь
I = 92,24 A
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: I = 94,42 A
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = 25·tan(arccos 0,6) = 33,33 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·100·10⁻⁶ = 5027 var = 5,027 kvar
Q2 = 33,33 − 5,027 = 28,31 kvar
Нова повна потужність
S2 = √(25² + 28,31²) = 37,77 kVA
Новий струм лінії
I = S2/V = 37766/400 = 94,42 A
Відповідь
I = 94,42 A
7.Трифазні системи
Відповідь: P = 9,699 kW
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Повна потужність
S = √3·VL·IL = √3·400·20 = 13,86 kVA
Активна потужність
P = S·cos φ = 13,86·0,7 = 9,699 kW
Відповідь
P = 9,699 kW
8.Трифазні системи
Відповідь: Cph = 190,8 µF
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 34,24 kvar
Ємність на фазу
У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.