Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 20 A від мережі з лінійною напругою 415 V. Коефіцієнт потужності 0,9, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 415 VI_L = 20 Acos φ = 0,9

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 150 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 75 kVA, 11000/400 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 75 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 3000 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) його ККД становить 98,2%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 500 kVAP_core = 3000 Wpf = 0,8η = 98,2%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 13 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 400 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 13 kWpf = 0,6V = 400 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 24 V (діюче значення), 50 Hz має внутрішній опір Z_s = 5 + j3 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність P_max, яку можна передати навантаженню.

V_s = 24 V (rms)f = 50 HzZ_s = 5 + j3 Ω

P_max = W

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 10 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 1 V·s/rad, R_a = 0,25 Ω) працює від 240 V. При повному навантаженні він споживає 30 A. Нехтуючи струмом неробочого ходу, знайдіть його регулювання швидкості SR = (n₀ − n_FL)/n_FL у відсотках.

V = 240 Vk = 1 V·s/radR_a = 0,25 ΩI_FL = 30 A

SR = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму з k = 1 V·s/rad і R_a = 0,5 Ω має приводити навантаження 30 N·m при 600 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.

k = 1 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 30 N·mn = 600 rpm

V = V

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 12,94 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·415·20 = 14,38 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 14,38·0,9 = 12,94 kW

Відповідь

P = 12,94 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 458,8 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,8) = 150·0,75 = 112,5 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,9) = 150·0,4843 = 72,65 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 39,85 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13284/(377·277,1²) = 458,8 µF

Відповідь

C_ph = 458,8 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 187,5 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 75000/400 = 187,5 A

Відповідь

I_LV = 187,5 A

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 4332 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 500·0,8 = 400 kW

P_in = 400000/0,982 = 407332 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 407332 − 400000 = 7332 W

P_cu,fl = 7332 − 3000 = 4332 W

Відповідь

P_cu,fl = 4332 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 17,33 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 13·1,333 = 17,33 kvar

Відповідь

Q = 17,33 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P_max = 28,8 W

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 5 − j3 Ω

Максимальна потужність

I = V_s/(2R_s) = 24/10 = 2,4 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 24²/(4·5) = 28,8 W

Відповідь

P_max = 28,8 W

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 2,062 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (109,7)²) = 111,6 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/111,6 = 2,062 A

Відповідь

I = 2,062 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 43,74 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (171,7)²) = 181,9 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 100/181,9 = 0,5497 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,5497·79,58 = 43,74 V

Відповідь

V_C = 43,74 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: SR = 3,226 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу та при повному навантаженні

n₀ = 60·240/(2π·1) = 2292 rpm

n_FL = 60·(240 − 30·0,25)/(2π·1) = 2220 rpm

Регулювання швидкості

SR = (2292 − 2220)/2220·100 = 3,226 %

Відповідь

SR = 3,226 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: V = 77,83 V

Зворотна ЕРС

E = 1·62,83 = 62,83 V

Струм якоря

I_a = 30/1 = 30 A

Напруга якоря

V = 62,83 + 30·0,5 = 77,83 V

Відповідь

V = 77,83 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems