Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 7 + j24 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 480 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 480 VZ = 7 + j24 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 300 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 2:1 прикладено 240 V. До вторинної обмотки підключено резистор 24 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 240 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 75 kVA має втрати в сталі 375 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому) його ККД становить 98,8%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 75 kVAP_core = 375 Wpf = 0,9η = 98,8%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 26 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним) і навантаження 9 kW з коефіцієнтом потужності 0,95 (індуктивним). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.

V = 240 VP₁ = 26 kW, pf₁ = 0,75 відстаючийP₂ = 9 kW, pf₂ = 0,95 відстаючий

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 75 kVA живить навантаження 24 kW з коефіцієнтом потужності 0,65 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 75 kVAP₁ = 24 kWpf₁ = 0,65

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

cos φ =

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 15 Ω, L = 10 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 15 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF

B = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 1,5 V·s/rad працює від 120 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n₀ у rpm.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Малий двигун постійного струму має опір якоря 1,2 Ω і працює від 24 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність P_max, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.

V = 24 VR_a = 1,2 Ω

P_max = W

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 2,58 kW

Фазна напруга

V_ph = 480/√3 = 277,1 V

Фазний струм

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 277,1/25 = 11,09 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·11,09²·7 = 2,58 kW

Відповідь

P = 2,58 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,28, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 3797 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,65) = 300·1,169 = 350,7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 205,4 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 68481/(314,2·239,6²) = 3797 µF

Відповідь

C_ph = 3797 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 2,5 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 240/2 = 120 V

I₂ = 120/24 = 5 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 2,5 A

Відповідь

I₁ = 2,5 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 96 Ω, і 240/96 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 444,8 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 75·0,9 = 67,5 kW

P_in = 67500/0,988 = 68320 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 68320 − 67500 = 819,8 W

P_cu,fl = 819,8 − 375 = 444,8 W

Відповідь

P_cu,fl = 444,8 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 181,4 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 26·tan(arccos 0,75) = 22,93 kvar

Q₂ = 9·tan(arccos 0,95) = 2,958 kvar

Сумарні значення

P = 26 + 9 = 35 kW

Q = 22,93 + 2,958 = 25,89 kvar

S = √(35² + 25,89²) = 43,53 kVA

Загальний струм

I = S/V = 43534/240 = 181,4 A

Відповідь

I = 181,4 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 45,55 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 24·tan(arccos 0,65) = 28,06 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(75² − 28,06²) = 69,55 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 69,55 − 24 = 45,55 kW

Відповідь

ΔP = 45,55 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,4086

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 157,1 Ω, X_C = 67,73 Ω

Повний опір

|Z| = √(40² + (89,35)²) = 97,9 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 40/97,9 = 0,4086

Коло індуктивне, тож коефіцієнт потужності індуктивний (струм відстає).

Відповідь

cos φ = 0,4086

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 238,7 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,47·10⁻⁶)) = 2322 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,01/(0,47·10⁻⁶)) = 9,724

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 2322/9,724 = 238,7 Hz

Відповідь

B = 238,7 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₀ = 763,9 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 120/1,5 = 80 rad/s

n₀ = 60·80/(2π) = 763,9 rpm

Відповідь

n₀ = 763,9 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: P_max = 120 W

Потужність як функція зворотної ЕРС

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

Максимальна потужність

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·1,2) = 120 W

Відповідь

P_max = 120 W

У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems