Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 40 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,82, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 400 VI_L = 40 Acos φ = 0,82

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 100 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 20:1 прикладено 2400 V. До вторинної обмотки підключено резистор 5 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 20:1V₁ = 2400 VR_L = 5 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 200 kVA має втрати в сталі 800 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) його ККД становить 98,2%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 200 kVAP_core = 800 Wpf = 0,8η = 98,2%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Навантаження з повним опором Z = 4 + j3 Ω під’єднано до однофазної мережі 120 V (діюче значення). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.

V = 120 VZ = 4 + j3 Ω

Q = var

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 15 kVA живить навантаження 6 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 15 kVAP₁ = 6 kWpf₁ = 0,75

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 1 mH має резонувати на частоті 200 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 200 HzL = 1 mH

C = µF

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 100 Ω, L = 5 mH і C = 0,022 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 100 ΩL = 5 mHC = 0,022 µF

B = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму споживає 4 A від джерела 48 V. Його опір якоря — 0,8 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 9 W. Знайдіть його ККД η.

V = 48 VI_a = 4 AR_a = 0,8 ΩP_rot = 9 W

η = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму незалежного збудження (k = 0,08 V·s/rad при повному полі, R_a = 1,2 Ω, V = 24 V) приводить навантаження зі сталим моментом 0,16 N·m. Магнітний потік збудження зменшують до 80 % від повного значення. Знайдіть нову швидкість n.

V = 24 Vk = 0,08 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 0,16 N·mΦ = 80 %

n = rpm

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 22,72 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·400·40 = 27,71 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 27,71·0,82 = 22,72 kW

Відповідь

P = 22,72 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 755,9 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,75) = 100·0,8819 = 88,19 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 45,59 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 15197/(377·230,9²) = 755,9 µF

Відповідь

C_ph = 755,9 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 1,2 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 2400/20 = 120 V

I₂ = 120/5 = 24 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/20 = 1,2 A

Відповідь

I₁ = 1,2 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 2000 Ω, і 2400/2000 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 2133 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 200·0,8 = 160 kW

P_in = 160000/0,982 = 162933 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 162933 − 160000 = 2933 W

P_cu,fl = 2933 − 800 = 2133 W

Відповідь

P_cu,fl = 2133 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 1728 var

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I = V/|Z| = 120/5 = 24 A

Реактивна потужність

Q = I²·X = 24²·3 = 1728 var

Відповідь

Q = 1728 var

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 8,036 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 6·tan(arccos 0,75) = 5,292 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(15² − 5,292²) = 14,04 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 14,04 − 6 = 8,036 kW

Відповідь

ΔP = 8,036 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 633,3 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,001) = 633,3 µF

Відповідь

C = 633,3 µF

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 3183 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,022·10⁻⁶)) = 15175 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,005/(0,022·10⁻⁶)) = 4,767

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 15175/4,767 = 3183 Hz

Відповідь

B = 3183 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 88,65 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

P_in = 48·4 = 192 W

P_dev = 44,8·4 = 179,2 W

P_out = 179,2 − 9 = 170,2 W

ККД

η = 170,2/192·100 = 88,65 %

Відповідь

η = 88,65 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 3133 rpm

Константа двигуна при послабленому полі

k₂ = 0,8·0,08 = 0,064 V·s/rad

Новий струм якоря

I_a = 0,16/0,064 = 2,5 A

Нова швидкість

ω = (24 − 2,5·1,2)/0,064 = 328,1 rad/s → n = 3133 rpm

Відповідь

n = 3133 rpm

Послаблення поля — це спосіб, яким привід постійного струму працює вище за базову швидкість.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems