Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 480 VIL​ = 20 Acos φ = 0,88відстаючий

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 20 A від мережі з лінійною напругою 480 V. Коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

VL = 480 VIL = 20 Acos φ = 0,88
P = kW
2.Трифазні системиСкладна
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 300 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 300 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.ТрансформаториСередня
480 V240 VIHV​ILV​ = ?25 kVA

Однофазний трансформатор 25 kVA, 480/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм ILV в обмотці нижчої напруги.

S = 25 kVAV1 = 480 VV2 = 240 V
ILV = A
4.ТрансформаториСкладна
pf 0,95500 kVA, 25% навантаження

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 2000 W і втрати в міді 4000 W при номінальному навантаженні. Він віддає 25% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,95 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати Ploss у ватах при цьому навантаженні.

S = 500 kVAPcore = 2000 WPcu,fl = 4000 Wx = 0,25pf = 0,95
Ploss = W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
230 VR + jXP = 2248 W11,5 A

Індуктивне навантаження споживає 11,5 A і 2248 W від однофазної мережі 230 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть R.

V = 230 VI = 11,5 AP = 2248 W
R = Ω
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P1​ = 23 kWQ1​S1​φ

Однофазний трансформатор потужністю 50 kVA живить навантаження 23 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

Smax = 50 kVAP1 = 23 kWpf1 = 0,6
ΔP = kW
7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
120 V60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 47 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 47 µF
P = W
8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
1 Vf0​R = 50 ΩL = 200 mHC = 0,1 µF

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 1 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги VL на котушці.

V = 1 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 0,1 µF
VL = V
9.Двигуни постійного струмуСередня
T (N·m)n (rpm)1 N·mn0​n = ?

Двигун постійного струму (k = 0,25 N·m/A, Ra = 0,4 Ω) працює від 24 V і приводить навантаження з моментом 1 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 24 Vk = 0,25 N·m/ARa = 0,4 ΩT = 1 N·m
n = rpm
10.Двигуни постійного струмуСкладна
+−48 VRst​ = ?Ra​ = 0,2 Ω20 AM+−E = 0n = 0T

Двигун постійного струму на 48 V має опір якоря 0,2 Ω. Знайдіть послідовний пусковий опір Rst, який обмежує пусковий струм до 20 A.

V = 48 VRa = 0,2 ΩImax = 20 A
Rst = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 14,63 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Повна потужність

S = √3·VL·IL = √3·480·20 = 16,63 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 16,63·0,88 = 14,63 kW

Відповідь

P = 14,63 kW
2.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 549,3 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 300·tan(acos 0,75) = 300·0,8819 = 264,6 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 119,3 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 39759/(314,2·480²) = 549,3 µF

Відповідь

Cph = 549,3 µF
3.Трансформатори

Відповідь: ILV = 104,2 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

ILV = S/V = 25000/240 = 104,2 A

Відповідь

ILV = 104,2 A
4.Трансформатори

Відповідь: Ploss = 2250 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·4000 = 250 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

Ploss = 2000 + 250 = 2250 W

Відповідь

Ploss = 2250 W

ККД при цьому навантаженні η = 98,14%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: R = 17 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 2248/11,5² = 17 Ω

Відповідь

R = 17 Ω
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 16,49 kW

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність наявного навантаження

Q1 = 23·tan(arccos 0,6) = 30,67 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = Smax, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 30,67²) = 39,49 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 39,49 − 23 = 16,49 kW

Відповідь

ΔP = 16,49 kW
7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 95,18 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

XL = 18,85 Ω, XC = 56,44 Ω

Повний опір

|Z| = √(10² + (−37,59)²) = 38,9 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 120/38,9 = 3,085 A
P = I²·R = 3,085²·10 = 95,18 W

Відповідь

P = 95,18 W
8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VL = 28,28 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·0,1·10⁻⁶) = 7071 rad/s
I = V/R = 1/50 = 0,02 A

Напруга на котушці

XL = ω₀L = 7071·0,2 = 1414 Ω
VL = I·XL = 0,02·1414 = 28,28 V

Відповідь

VL = 28,28 V

Це в Q = 28,28 разів більше за напругу мережі.

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 855,6 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

Ia = T/k = 1/0,25 = 4 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 24 − 4·0,4 = 22,4 V
ω = E/k = 89,6 rad/s → n = 855,6 rpm

Відповідь

n = 855,6 rpm
10.Двигуни постійного струму

Відповідь: Rst = 2,2 Ω

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Повний опір

Ra + Rst = 48/20 = 2,4 Ω

Пусковий резистор

Rst = 2,4 − 0,2 = 2,2 Ω

Відповідь

Rst = 2,2 Ω

Резистор виводять покроково, у міру того як двигун розганяється, а зворотна ЕРС зростає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems