Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 80 A від мережі з лінійною напругою 690 V. Коефіцієнт потужності 0,82, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 690 VI_L = 80 Acos φ = 0,82

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 15 kVA, 7200/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 15 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 150 kVA має втрати в сталі 450 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,95 (відстаючому) його ККД становить 98,2%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 150 kVAP_core = 450 Wpf = 0,95η = 98,2%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 21 kW при коефіцієнті потужності 0,9 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 21 kWpf = 0,9V = 230 V

Q = kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазний трансформатор потужністю 15 kVA живить навантаження 8 kW з коефіцієнтом потужності 0,85 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

S_max = 15 kVAP₁ = 8 kWpf₁ = 0,85

ΔP = kW

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µF

φ = °

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,6 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω) працює від 110 V. При повному навантаженні він споживає 20 A. Нехтуючи струмом неробочого ходу, знайдіть його регулювання швидкості SR = (n₀ − n_FL)/n_FL у відсотках.

V = 110 Vk = 0,6 V·s/radR_a = 0,4 ΩI_FL = 20 A

SR = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму на 220 V має опір якоря 2 Ω. Знайдіть послідовний пусковий опір R_st, який обмежує пусковий струм до 40 A.

V = 220 VR_a = 2 ΩI_max = 40 A

R_st = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 78,4 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·690·80 = 95,61 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 95,61·0,82 = 78,4 kW

Відповідь

P = 78,4 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 1710 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,7) = 250·1,02 = 255,1 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,92) = 250·0,426 = 106,5 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 148,6 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 49517/(377·277,1²) = 1710 µF

Відповідь

C_ph = 1710 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 62,5 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 15000/240 = 62,5 A

Відповідь

I_LV = 62,5 A

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 2162 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 150·0,95 = 142,5 kW

P_in = 142500/0,982 = 145112 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 145112 − 142500 = 2612 W

P_cu,fl = 2612 − 450 = 2162 W

Відповідь

P_cu,fl = 2162 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 10,17 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 21·0,4843 = 10,17 kvar

Відповідь

Q = 10,17 kvar

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 6,157 kW

Реактивна потужність наявного навантаження

Q₁ = 8·tan(arccos 0,85) = 4,958 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = S_max, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(15² − 4,958²) = 14,16 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 14,16 − 8 = 6,157 kW

Відповідь

ΔP = 6,157 kW

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −18,52 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−16,75)²) = 52,73 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−16,75/50) = −18,52°

Відповідь

φ = −18,52°

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,1774 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (280,3)²) = 281,9 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/281,9 = 0,1774 A

Відповідь

I = 0,1774 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: SR = 7,843 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу та при повному навантаженні

n₀ = 60·110/(2π·0,6) = 1751 rpm

n_FL = 60·(110 − 20·0,4)/(2π·0,6) = 1623 rpm

Регулювання швидкості

SR = (1751 − 1623)/1623·100 = 7,843 %

Відповідь

SR = 7,843 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: R_st = 3,5 Ω

Повний опір

R_a + R_st = 220/40 = 5,5 Ω

Пусковий резистор

R_st = 5,5 − 2 = 3,5 Ω

Відповідь

R_st = 3,5 Ω

Резистор виводять покроково, у міру того як двигун розганяється, а зворотна ЕРС зростає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems