Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 20 A від мережі з лінійною напругою 415 V. Коефіцієнт потужності 0,92, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 415 VI_L = 20 Acos φ = 0,92

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 150 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

Однофазний трансформатор 50 kVA, 2400/240 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм I_LV в обмотці нижчої напруги.

S = 50 kVAV₁ = 2400 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 100 kVA має втрати в сталі 300 W і втрати в міді 900 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 100 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 900 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 26 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і навантаження 17 kW з коефіцієнтом потужності 0,9 (індуктивним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 240 VP₁ = 26 kW, pf₁ = 0,7 відстаючийP₂ = 17 kW, pf₂ = 0,9 відстаючий

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 12 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) від мережі 400 V, 60 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 68 µF. Знайдіть новий струм лінії I.

P = 12 kWpf₁ = 0,7V = 400 Vf = 60 HzC = 68 µF

I = A

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 200 mH має резонувати на частоті 60 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 60 HzL = 200 mH

C = µF

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

I = A

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 0,75 N·m/A, R_a = 1 Ω) працює від 220 V і приводить навантаження з моментом 6 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 220 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 1 ΩT = 6 N·m

n = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму з k = 0,75 V·s/rad і R_a = 0,2 Ω має приводити навантаження 6 N·m при 500 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.

k = 0,75 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 6 N·mn = 500 rpm

V = V

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 13,23 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·415·20 = 14,38 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 14,38·0,92 = 13,23 kW

Відповідь

P = 13,23 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 807,4 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,65) = 150·1,169 = 175,4 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,98) = 150·0,2031 = 30,46 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 144,9 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 48304/(377·398,4²) = 807,4 µF

Відповідь

C_ph = 807,4 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I_LV = 208,3 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

I_LV = S/V = 50000/240 = 208,3 A

Відповідь

I_LV = 208,3 A

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 57,74 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·900 = 300 → x = √(300/900) = 0,5774

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5774·100 = 57,74 kVA

Відповідь

S_η,max = 57,74 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,7777

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 26·tan(arccos 0,7) = 26,53 kvar

Q₂ = 17·tan(arccos 0,9) = 8,233 kvar

Сумарні значення

P = 26 + 17 = 43 kW

Q = 26,53 + 8,233 = 34,76 kvar

S = √(43² + 34,76²) = 55,29 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 43/55,29 = 0,7777 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,7777

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 36,25 A

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 12·tan(arccos 0,7) = 12,24 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·68·10⁻⁶ = 4102 var = 4,102 kvar

Q₂ = 12,24 − 4,102 = 8,141 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(12² + 8,141²) = 14,5 kVA

Новий струм лінії

I = S₂/V = 14501/400 = 36,25 A

Відповідь

I = 36,25 A

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 35,18 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,2) = 35,18 µF

Відповідь

C = 35,18 µF

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 1,075 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (91,8)²) = 93,02 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 100/93,02 = 1,075 A

Відповідь

I = 1,075 A

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n = 2699 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

I_a = T/k = 6/0,75 = 8 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 220 − 8·1 = 212 V

ω = E/k = 282,7 rad/s → n = 2699 rpm

Відповідь

n = 2699 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: V = 40,87 V

Зворотна ЕРС

E = 0,75·52,36 = 39,27 V

Струм якоря

I_a = 6/0,75 = 8 A

Напруга якоря

V = 39,27 + 8·0,2 = 40,87 V

Відповідь

V = 40,87 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems