Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 100 A від мережі з лінійною напругою 208 V. Коефіцієнт потужності 0,75, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

V_L = 208 VI_L = 100 Acos φ = 0,75

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 150 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 4:1 прикладено 960 V. До вторинної обмотки підключено резистор 12 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 960 VR_L = 12 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 2500 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому) його ККД становить 97%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні P_cu,fl у ватах.

S = 500 kVAP_core = 2500 Wpf = 0,9η = 97%

P_cu,fl = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Індуктивне навантаження споживає 17 A і 1020 W від однофазної мережі 120 V (діюче значення). Подайте його як активний опір R, послідовно з’єднаний з реактивним опором X. Знайдіть X.

V = 120 VI = 17 AP = 1020 W

X = Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 28 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 220 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

P = 28 kWpf₁ = 0,6V = 240 Vf = 50 HzC = 220 µF

cos φ =

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 2 mH має резонувати на частоті 50 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 50 HzL = 2 mH

C = µF

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 100 µF

V_C = V

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму споживає 8 A від джерела 120 V. Його опір якоря — 1,5 Ω, а втрати на обертання (тертя, вентиляція й сталь) становлять 43 W. Знайдіть його ККД η.

V = 120 VI_a = 8 AR_a = 1,5 ΩP_rot = 43 W

η = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму з k = 2 V·s/rad і R_a = 0,2 Ω має приводити навантаження 80 N·m при 300 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.

k = 2 V·s/radR_a = 0,2 ΩT = 80 N·mn = 300 rpm

V = V

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 27,02 kW

Повна потужність

S = √3·V_L·I_L = √3·208·100 = 36,03 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 36,03·0,75 = 27,02 kW

Відповідь

P = 27,02 kW

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 591,1 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,7) = 150·1,02 = 153 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 89,13 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 29710/(314,2·400²) = 591,1 µF

Відповідь

C_ph = 591,1 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 5 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 960/4 = 240 V

I₂ = 240/12 = 20 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 5 A

Відповідь

I₁ = 5 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 192 Ω, і 960/192 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: P_cu,fl = 11418 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

P_out = 500·0,9 = 450 kW

P_in = 450000/0,97 = 463918 W

Сумарні втрати й втрати в міді

P_loss = 463918 − 450000 = 13918 W

P_cu,fl = 13918 − 2500 = 11418 W

Відповідь

P_cu,fl = 11418 W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: X = 6,113 Ω

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Активний опір з активної потужності

R = P/I² = 1020/17² = 3,529 Ω

Реактивний опір з повного опору

|Z| = V/I = 120/17 = 7,059 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(7,059² − 3,529²) = 6,113 Ω

Відповідь

X = 6,113 Ω

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,643

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = 28·tan(arccos 0,6) = 37,33 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·220·10⁻⁶ = 3981 var = 3,981 kvar

Q₂ = 37,33 − 3,981 = 33,35 kvar

Нова повна потужність

S₂ = √(28² + 33,35²) = 43,55 kVA

Новий коефіцієнт потужності

cos φ = P/S₂ = 28/43,55 = 0,643

Відповідь

cos φ = 0,643

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 5066 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,002) = 5066 µF

Відповідь

C = 5066 µF

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 1,015 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (153,9)²) = 156,8 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/156,8 = 0,3189 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,3189·3,183 = 1,015 V

Відповідь

V_C = 1,015 V

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: η = 85,52 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Потужності

P_in = 120·8 = 960 W

P_dev = 108·8 = 864 W

P_out = 864 − 43 = 821 W

ККД

η = 821/960·100 = 85,52 %

Відповідь

η = 85,52 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: V = 70,83 V

Зворотна ЕРС

E = 2·31,42 = 62,83 V

Струм якоря

I_a = 80/2 = 40 A

Напруга якоря

V = 62,83 + 40·0,2 = 70,83 V

Відповідь

V = 70,83 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems