Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 400 VIL​ = 100 Acos φ = 0,85відстаючий

Симетричне трифазне навантаження споживає лінійний струм 100 A від мережі з лінійною напругою 400 V. Коефіцієнт потужності 0,85, відстаючий. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку споживає навантаження, у kW.

VL = 400 VIL = 100 Acos φ = 0,85
P = kW
2.Трифазні системиСкладна
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 80 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.ТрансформаториСередня
RL​ = 5 Ω51600 VV2​I1​ = ?I2​

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 5:1 прикладено 600 V. До вторинної обмотки підключено резистор 5 Ω. Знайдіть первинний струм I1.

N1:N2 = 5:1V1 = 600 VRL = 5 Ω
I1 = A
4.ТрансформаториСкладна
pf 0,9100 kVA, η = 97,5%

Однофазний трансформатор 100 kVA має втрати в сталі 400 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому) його ККД становить 97,5%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні Pcu,fl у ватах.

S = 100 kVAPcore = 400 Wpf = 0,9η = 97,5%
Pcu,fl = W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
P = 1 kWQSφ

Однофазний двигун споживає 1 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 1 kWpf = 0,65V = 240 V
I = A
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P = 20 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазне навантаження споживає 20 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть новий струм лінії Inew.

P = 20 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,9V = 230 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 100 HzRL = ?C = 2,2 µF

Послідовне RLC-коло з C = 2,2 µF має резонувати на частоті 100 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f0 = 100 HzC = 2,2 µF
L = mH
8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
24 V50 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть резонансну частоту f0 кола.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF
f0 = Hz
9.Двигуни постійного струмуСередня
+−VRa​M+−En = 3000 rpmT = ?

Двигун постійного струму віддає 5,5 kW механічної потужності при 3000 rpm. Знайдіть момент на валу T.

P = 5,5 kWn = 3000 rpm
T = N·m
10.Двигуни постійного струмуСкладна
+−24 VRst​ = ?Ra​ = 0,8 Ω25 AM+−E = 0n = 0T

Двигун постійного струму на 24 V має опір якоря 0,8 Ω. Знайдіть послідовний пусковий опір Rst, який обмежує пусковий струм до 25 A.

V = 24 VRa = 0,8 ΩImax = 25 A
Rst = Ω

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 58,89 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Повна потужність

S = √3·VL·IL = √3·400·100 = 69,28 kVA

Активна потужність

P = S·cos φ = 69,28·0,85 = 58,89 kW

Відповідь

P = 58,89 kW
2.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 185,5 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 80·tan(acos 0,78) = 80·0,8023 = 64,18 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 30,1 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10034/(314,2·415²) = 185,5 µF

Відповідь

Cph = 185,5 µF
3.Трансформатори

Відповідь: I1 = 4,8 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V2 = 600/5 = 120 V
I2 = 120/5 = 24 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/5 = 4,8 A

Відповідь

I1 = 4,8 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·RL = 125 Ω, і 600/125 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: Pcu,fl = 1908 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

Pout = 100·0,9 = 90 kW
Pin = 90000/0,975 = 92308 W

Сумарні втрати й втрати в міді

Ploss = 92308 − 90000 = 2308 W
Pcu,fl = 2308 − 400 = 1908 W

Відповідь

Pcu,fl = 1908 W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 6,41 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 1000/(240·0,65) = 6,41 A

Відповідь

I = 6,41 A
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Inew = 96,62 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(53,13°) = 26,67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(25,84°) = 9,686 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16,98 kvar

Новий струм лінії

Inew = P/(V·cos φ2) = 20000/(230·0,9) = 96,62 A

Відповідь

Inew = 96,62 A
7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 1151 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·2,2·10⁻⁶) = 1151 mH

Відповідь

L = 1151 mH
8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f0 = 73,41 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·47·10⁻⁶)) = 73,41 Hz

Відповідь

f0 = 73,41 Hz
9.Двигуни постійного струму

Відповідь: T = 17,51 N·m

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість у rad/s

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 5500/314,2 = 17,51 N·m

Відповідь

T = 17,51 N·m
10.Двигуни постійного струму

Відповідь: Rst = 0,16 Ω

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Повний опір

Ra + Rst = 24/25 = 0,96 Ω

Пусковий резистор

Rst = 0,96 − 0,8 = 0,16 Ω

Відповідь

Rst = 0,16 Ω

Резистор виводять покроково, у міру того як двигун розганяється, а зворотна ЕРС зростає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems