Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 18 + j24 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 400 VZ = 18 + j24 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 4:1 прикладено 960 V. До вторинної обмотки підключено резистор 15 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 960 VR_L = 15 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 250 kVA має втрати в сталі 1500 W і втрати в міді 6000 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні S_η,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 250 kVAP_core = 1500 WP_cu,fl = 6000 W

S_η,max = kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

До однофазної мережі 230 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 10 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) і навантаження 2 kW з коефіцієнтом потужності 0,9 (ємнісним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 230 VP₁ = 10 kW, pf₁ = 0,6 відстаючийP₂ = 2 kW, pf₂ = 0,9 ємнісний

cos φ =

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Однофазне навантаження споживає 40 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 400 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть потрібну ємність C.

P = 40 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V = 400 Vf = 60 Hz

C = µF

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

P = W

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 5 Ω, L = 10 mH і C = 0,022 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 5 ΩL = 10 mHC = 0,022 µF

B = Hz

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму з k = 0,25 V·s/rad працює від 48 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n₀ у rpm.

V = 48 Vk = 0,25 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Двигун постійного струму з k = 0,08 V·s/rad і R_a = 1,2 Ω має приводити навантаження 0,16 N·m при 750 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.

k = 0,08 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 0,16 N·mn = 750 rpm

V = V

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 9,6 kW

Фазна напруга

V_ph = V_L = 400 V

Фазний струм

|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω

I_ph = 400/30 = 13,33 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·13,33²·18 = 9,6 kW

Відповідь

P = 9,6 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 183,5 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,8) = 60·0,75 = 45 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 15,94 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 5314/(377·277,1²) = 183,5 µF

Відповідь

C_ph = 183,5 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 4 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 960/4 = 240 V

I₂ = 240/15 = 16 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 4 A

Відповідь

I₁ = 4 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 240 Ω, і 960/240 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: S_η,max = 125 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·6000 = 1500 → x = √(1500/6000) = 0,5

Навантаження при максимальному ККД

S_η,max = x·S = 0,5·250 = 125 kVA

Відповідь

S_η,max = 125 kVA

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,6964

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q₁ = 10·tan(arccos 0,6) = 13,33 kvar

Q₂ = −2·tan(arccos 0,9) = −0,9686 kvar

Сумарні значення

P = 10 + 2 = 12 kW

Q = 13,33 + (−0,9686) = 12,36 kvar

S = √(12² + 12,36²) = 17,23 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 12/17,23 = 0,6964 відстаючий

Відповідь

cos φ = 0,6964

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: C = 492,8 µF

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(49,46°) = 46,77 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(23,07°) = 17,04 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 29,73 kvar

Ємність

Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 29725/(2π·60·400²) = 492,8 µF

Відповідь

C = 492,8 µF

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 0,09165 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 62,83 Ω, X_C = 338,6 Ω

Повний опір

|Z| = √(50² + (−275,8)²) = 280,3 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 12/280,3 = 0,04281 A

P = I²·R = 0,04281²·50 = 0,09165 W

Відповідь

P = 0,09165 W

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 79,58 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,022·10⁻⁶)) = 10730 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,01/(0,022·10⁻⁶)) = 134,8

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 10730/134,8 = 79,58 Hz

Відповідь

B = 79,58 Hz

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: n₀ = 1833 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 48/0,25 = 192 rad/s

n₀ = 60·192/(2π) = 1833 rpm

Відповідь

n₀ = 1833 rpm

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: V = 8,683 V

Зворотна ЕРС

E = 0,08·78,54 = 6,283 V

Струм якоря

I_a = 0,16/0,08 = 2 A

Напруга якоря

V = 6,283 + 2·1,2 = 8,683 V

Відповідь

V = 8,683 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems