Електроенергетичні системи та електричні машини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
З’єднання трикутником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Сумарна активна потужність: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Повна й реактивна потужність: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі: Δ: V_L Y: V_L/√3
Вхідна потужність двигуна: P_in = P_out/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Відношення струмів: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Номінальний струм: I = S/V
Зведений опір: Z₁′ = a²·Z_L
Втрати в міді при неповному навантаженні: P_cu = x²·P_cu,fl
ККД: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Максимальний ККД: x = √(P_core/P_cu,fl)

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність: P = V·I·cos φ
Реактивна потужність: Q = V·I·sin φ
Повна потужність: S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності: pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Двигуни постійного струму

Коло якоря: V = E + I_aR_a
Зворотна ЕРС і момент: E = k·ω, T = k·I_a
Швидкість: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Потужності: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулювання швидкості: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальна розвинена потужність: P_max = V²/(4R_a)
Привід із чопером: V_a = D·V_dc

Метод

Накресліть коло якоря: джерело V, опір R_a і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + I_a·R_a, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·I_a для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·I_a, відніміть втрати в міді I_a²·R_a, а потім втрати на обертання.

2Задачі для практики

1.Трифазні системиСередня

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 15 + j20 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

V_L = 400 VZ = 15 + j20 Ω на фазу

P = kW

2.Трифазні системиСкладна

Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність C_ph кожного конденсатора в µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.ТрансформаториСередня

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 2:1 прикладено 240 V. До вторинної обмотки підключено резистор 24 Ω. Знайдіть первинний струм I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 240 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.ТрансформаториСкладна

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 3000 W і втрати в міді 12000 W при номінальному навантаженні. Він віддає 75% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати P_loss у ватах при цьому навантаженні.

S = 500 kVAP_core = 3000 WP_cu,fl = 12000 Wx = 0,75pf = 0,9

P_loss = W

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня

Однофазний двигун споживає 5 kW при коефіцієнті потужності 0,85 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 5 kWpf = 0,85V = 230 V

I = A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна

Джерело 100 V (діюче значення), 60 Hz має внутрішній опір Z_s = 8 + j20 Ω. Опір навантаження Z_L можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність P_max, яку можна передати навантаженню.

V_s = 100 V (rms)f = 60 HzZ_s = 8 + j20 Ω

P_max = W

7.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 100 µF

I = A

8.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 10 Ω, L = 2 mH і C = 0,22 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 10 ΩL = 2 mHC = 0,22 µF

Q =

9.Двигуни постійного струмуСередня

Двигун постійного струму (k = 1,2 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) працює від 240 V. При повному навантаженні він споживає 12 A. Нехтуючи струмом неробочого ходу, знайдіть його регулювання швидкості SR = (n₀ − n_FL)/n_FL у відсотках.

V = 240 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 0,8 ΩI_FL = 12 A

SR = %

10.Двигуни постійного струмуСкладна

Чопер постійного струму живить двигун (k = 0,8 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) від шини постійного струму 220 V. Середня напруга якоря дорівнює D·220 V. Знайдіть коефіцієнт заповнення D, за якого двигун працює на 600 rpm з навантаженням 24 N·m.

V_dc = 220 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 24 N·mn = 600 rpm

D = %

3Розчини

1.Трифазні системи

Відповідь: P = 3,84 kW

Фазна напруга

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Фазний струм

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 230,9/25 = 9,238 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·15 = 3,84 kW

Відповідь

P = 3,84 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·V_L·I_L·cos φ дає ту саму потужність.

2.Трифазні системи

Відповідь: C_ph = 215,7 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, V_L = √3·V_ph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, I_L = √3·I_ph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Кожен із трьох конденсаторів дає Q_C/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: V_L у батареї, з’єднаній трикутником, V_L/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

Q_C = Q₁ − Q₂ = 42,02 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14007/(377·415²) = 215,7 µF

Відповідь

C_ph = 215,7 µF

3.Трансформатори

Відповідь: I₁ = 2,5 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V₂ = 240/2 = 120 V

I₂ = 120/24 = 5 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 2,5 A

Відповідь

I₁ = 2,5 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·R_L = 96 Ω, і 240/96 дає той самий струм.

4.Трансформатори

Відповідь: P_loss = 9750 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·P_cu,fl. ККД η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), де P_out = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·12000 = 6750 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

P_loss = 3000 + 6750 = 9750 W

Відповідь

P_loss = 9750 W

ККД при цьому навантаженні η = 97,19%.

5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 25,58 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 5000/(230·0,85) = 25,58 A

Відповідь

I = 25,58 A

6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P_max = 312,5 W

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

Z_L = Z_s* = 8 − j20 Ω

Максимальна потужність

I = V_s/(2R_s) = 100/16 = 6,25 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 100²/(4·8) = 312,5 W

Відповідь

P_max = 312,5 W

7.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,2549 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (468,1)²) = 470,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/470,7 = 0,2549 A

Відповідь

I = 0,2549 A

8.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 9,535

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,22·10⁻⁶)) = 7587 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,002/(0,22·10⁻⁶)) = 9,535

Відповідь

Q = 9,535

9.Двигуни постійного струму

Відповідь: SR = 4,167 %

Двигун постійного струму: якір — це опір R_a, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + I_a·R_a. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·I_a, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·I_a = T·ω; споживана потужність — V·I_a, а різницю становлять втрати в міді I_a²R_a та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − R_a·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/R_a. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/R_a великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу та при повному навантаженні

n₀ = 60·240/(2π·1,2) = 1910 rpm

n_FL = 60·(240 − 12·0,8)/(2π·1,2) = 1833 rpm

Регулювання швидкості

SR = (1910 − 1833)/1833·100 = 4,167 %

Відповідь

SR = 4,167 %

10.Двигуни постійного струму

Відповідь: D = 29,67 %

Потрібна напруга якоря

V_a = 0,8·62,83 + 30·0,5 = 65,27 V

Коефіцієнт заповнення

D = 65,27/220 = 29,67 %

Відповідь

D = 29,67 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems